Zusammenfassung
Dieser Artikel ist motiviert durch die Überzeugung, dass ein grundlegendes Verständnis der axiomatischen Methode notwendiger Bestandteil eines angemessenen Bildes von Mathematik ist. Er zeigt daher Wege auf, die Rolle von Axiomen und Beweisen als Erweiterungsthema der Sekundarstufe II explizit zu thematisieren und auf den besonderen erkenntnistheoretischen Status mathematischer Aussagen einzugehen. Dazu gehören die Einsicht in die Notwendigkeit von Axiomen als Grundlage mathematischer Beweisführung und der damit verbundene hypothetisch-deduktive Charakter von Mathematik, die Kenntnis der klassischen inhaltlichen und der modernen formalistischen Sicht auf Axiome sowie eine Diskussion der prinzipiellen Rechtfertigungsmöglichkeiten mathematischer Theorien. Nach einem Überblick über die historische Entwicklung der axiomatischen Methode und zugehöriger mathematisch-philosophischer Ansichten werden die wichtigsten Argumente für und wider die Behandlung von Axiomatik im Unterricht aus didaktischer Perspektive erörtert. Anschließend wird ein Konzept zum Erreichen der aus unserer Sicht wichtigsten Lernziele im Umgang mit axiomatischen Aspekten anhand ausgewählter Themengebiete skizziert. Eine Unterrichtsreihe zu einem dieser Themen, den Kolmogoroff-Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wird ausführlicher vorgestellt.
Abstract
This article is motivated by the conviction that understanding the axiomatic method is a necessary component of an appropriate picture of mathematics. Therefore, it points out ways to investigate the role of axioms and proofs as well as the particular epistemological status of mathematical theorems as an additional topic at Sekundarstufe II. This includes recognising the necessity of axioms for a foundation of mathematical proofs, knowing the classical content-related and modern formalistic view on axioms as well as discussing general strategies for justifying mathematical theories. After sketching the historical development of the axiomatic method and of associated views in the philosophy of mathematics, we outline the most important pros and cons of dealing with axiomatics at school from a didactical perspective. We then delineate a concept of how the most important learning goals with respect to axiomatic aspects can be achieved by means of suitable topics. A teaching sequence from one of these topics, Kolmogoroff’s axioms of probability, is presented in more detail.
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Notes
Die Ontologie (wörtlich: Lehre vom Sein) befasst sich unter anderem mit Fragen der Existenz und Realität von Objekten, während die Epistemologie (Erkenntnistheorie) sich mit den Bedingungen für Wissen sowie dessen Genese und Begründung beschäftigt.
Diese Sichtweise ist historisch gesehen etwas unscharf, denn ursprünglich hatten die Postulate – verstanden als Aussagen über die Ausführbarkeit bestimmter geometrischer Operationen (z. B.: „Gefordert soll sein: Daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann.“ Euklid 2010, S. 2) – den Status theoriespezifischer Forderungen, die keinen universellen Geltungsanspruch erhoben und prinzipiell anzweifelbar waren. Die Unterscheidung der Begriffe „Axiom“ und „Postulat“ ist jedoch im Laufe der Zeit immer weniger beachtet worden (Schreiber 2010, S. 3–5; Scriba und Schreiber 2010, S. 55–56). Den postulatorischen Charakter der Mathematik hat vor allem Szabó (1960) in seiner etymologischen Untersuchung der bei Euklid für die unterschiedlichen Arten von Ausgangsaussagen verwendeten Termini herausgestellt. Demnach ist die Entwicklung der axiomatisch-deduktiven Methode eng mit der Methode der dialektischen Gesprächsführung verknüpft (S. 49): Jeder rationale Diskurs (und auch jede mathematische Argumentation) beruht auf Voraussetzungen, die man akzeptieren kann, aber nicht muss; die Konsequenzen, die man aus den Voraussetzungen ziehen kann, können zu deren Stärkung (z. B. im Falle einer Passung mit empirischen Messungen) oder auch Ablehnung (wenn sich beispielsweise ein logischer Widerspruch ergibt) führen. Das Bild von Mathematik als einer Disziplin, die aufgrund ihrer evidenten Grundaussagen absolute Wahrheiten generiert, entstammt also einer nach-euklidischen Zeit. Jahnke (2007a, 2010) liefert einen guten Überblick über Szabós Untersuchungen und verbindet sie zudem mit Maddys (1990) Konzept der extrinsischen Rechtfertigung.
Dies im Sinne relativer Widerspruchsfreiheit bzgl. der euklidischen Geometrie: Wenn die euklidische Geometrie widerspruchsfrei ist, dann ist es auch die hyperbolische Geometrie.
Zur Problematik der Einsicht in die Beweisnotwendigkeit aus Schülersicht hat sich Winter (1983) umfassend geäußert.
Siehe dazu auch Reichenbach (1938, S. 7): „[…] the well-known difference between the thinker’s way of finding [a] theorem and his way of presenting it“.
An dieser Stelle sei auf Steiners umfangreiche Arbeiten zur Mathematisierung von Abstimmungsgremien verwiesen (siehe dazu exemplarisch Steiner 1966a), die ein gelungenes Beispiel für eine genetisch konzipierte Unterrichtsreihe darstellen, in der die Lernenden anhand eines überschaubaren theoretischen Apparats viele Aspekte mathematischer Theoriebildung und -strukturierung erfahren können. Die Ziele Steiners decken sich teilweise mit unseren. Unser Ansatz unterscheidet sich – neben der gewählten äußeren Form des Schülerarbeitshefts – allerdings insofern von seinem, als wir bereits bekannte Themen der Schulmathematik (Geometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlbereichserweiterungen) bewusst aus einer neuen Perspektive betrachten wollen, die axiomatische Denk- und Arbeitsweisen umfasst. Damit sollen den Schülerinnen und Schülern auch Einblicke in wissenschaftsgeschichtliche Aspekte der Axiomatik ermöglicht werden. Nicht alle von uns angestrebten Ziele lassen sich bei diesen Themen allein aus eigenen Aktivitäten der Lernenden motivieren, weshalb wir die Schülerinnen und Schüler an einigen Stellen eher „instruktiv“ mit bestimmten Sichtweisen und Problemstellungen konfrontieren und darüber diskutieren lassen.
Kolmogoroff verwendet ein zur \(\sigma\)-Additivität äquivalentes Axiom.
Kolmogoroff selbst geht in einem kurzen Abschnitt seiner Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die „empirische Entstehung der Axiome“ (Kolmogoroff 1933, S. 3) ein und erklärt, dass sie im Wesentlichen (wie bei von Mises, auf den er explizit verweist) an die Eigenschaften relativer Häufigkeiten angelehnt sind (S. 3–5).
Die mengentheoretische Modellierung stochastischer Aussagen (Phase 2) konnte dabei verhältnismäßig zügig behandelt werden, da die Schülerinnen und Schüler bereits Kenntnisse der Mengenlehre aus dem bisherigen Projektkursunterricht besaßen.
Beispielsweise erfordert die Beantwortung der Frage Wie wahrscheinlich ist es, beim einfachen Wurf eines idealen Würfels eine gerade Zahl oder ein Primzahl zu werfen? die Verwendung der Regel
\(P\left (A\cup B\right )=P\left (A\right )+P\left (B\right )-P\left (A\cap B\right )\).
So lässt sich Regel 7 nicht nur wie oben gezeigt aus den Regeln 1 und 4 deduzieren, sondern auch aus den Regeln 1 und 8: \(P\left (\overline{A}\right )=P\left (\mathrm{\Omega }\smallsetminus A\right )=P\left (\mathrm{\Omega }\right )-P\left (A\right )=1-P\left (A\right )\).
Der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit wird wie gewohnt über die Definition \( P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) für \( P(B) > 0 \) eingeführt; die stochastische Unabhängigkeit wird – anders als im Schulunterricht üblich – über die Multiplikationsformel \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) definiert. Der im folgenden Aufzählungspunkt beschriebene Zusammenhang zwischen stochastischer Unabhängigkeit und bedingter Wahrscheinlichkeit tritt im Rahmen des hier gewählten axiomatischen Zugangs als deduzierbare Folgerung auf. Im regulären Stochastikunterricht dient er in der Regel als Motivation und Definition des Unabhängigkeitsbegriffs, aus der wiederum die Multiplikationsformel folgt. Beide Definitionsansätze sind im Prinzip gleichwertig. Den Unterschied in der Reihenfolge sollte man mit den Schülerinnen und Schülern jedoch kurz diskutieren und erörtern, welche Vorzüge die Definition über die Multiplikationsformel – trotz der geringeren intuitiven Klarheit – im Rahmen des deduktiven Aufbaus hat. So umfasst sie beispielsweise auch die Fälle \( P(A) = 0 \) und \( P(B) = 0 \), ist als „Rechenregel“ einfacher handhabbar und die Symmetrie des Unabhängigkeitsbegriffs tritt klarer zutage (Büchter u. Henn 2005, S. 170–171). Darüber hinaus birgt eine zu starke Betonung der Eigenschaft \( P(A|B) = P(A) \) bzw. \( P(B|A) = P(B) \) auch die Gefahr von Fehlvorstellungen. Stochastische Unabhängigkeit ist zu einem gewissen Grad ein theoretischer Begriff, der nicht mit kausaler oder realer Unabhängigkeit von Ereignissen gleichgesetzt werden darf. Es lässt sich bereits an sehr einfachen Zufallsexperimenten verdeutlichen, „dass nicht zu jeder formal ermittelbaren Unabhängigkeit von Ereignissen auch eine entsprechende intuitive Vorstellung von der Unabhängigkeit dieser Ereignisse entwickelbar ist“ (Wolpers 2002, S. 163).
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Hock, T., Heitzer, J. & Schwank, I. Axiomatisches Denken und Arbeiten im Mathematikunterricht. J Math Didakt 37, 181–208 (2016). https://doi.org/10.1007/s13138-016-0088-2
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