Are conformal mapping polynomials really optimal analytic parametrizations of the scattering amplitudes?

Summary

The problem of analytic extrapolation of the scattering amplitudes in the presence of error-affected data is studied. We show that stabilization by a theoretical normφ or by fits with suitable finite-dimensional analytic parametrizations are related in a simple way. The second method is a special case of the former withφ homogeneous of degree zero in the fitted functions. The remaining properties of the analytic extrapolation depend on further details ofφ and also on the numberN of terms necessary to get an acceptable fit to the data. The theoretical norm φ can be simply related to the stability measure used, while the dependence onN turns extrapolation into a nonlinear problem, so that one is left with numerical tests. For this purpose rational functions prove to be more suitable than conformal mapping polynomials as is demonstrated for the πN invariant amplitudes.

Riassunto

Si studia il problema dell’estrapolazione analitica delle ampiezze di scattering in presenza di dati affetti da errori. Si mostra che la stabilizzazione con una norma teorica φ o quelle con adattamenti con opportune parametrizzazioni analitiche a dimensioni finite sono correlate in modo semplice. Il secondo metodo è un caso speciale del primo conφ omogeneo di grado zero nelle funzioni adattate. Le rimanenti proprietà dell’estrapolazione analitica dipendono da ulteriori dettagli diφ ed anche dal numeroN di termini necessari per ottenere un adattamento accettabile ai dati. La norma teorica φ può essere semplicemente messa in relazione con la misura di stabilità usata, mentre la dipendenza daN trasforma l’estrapolazione in un problema non lineare, cosicché non rimangono che conferme numeriche. A questo scopo le funzioni razionali si mostrano più opportune dei polinomi di mappa conforme, come si dimostra per le ampiezze invarianti πN.

Реэюме

Исследуется проблема аналитической зкстраполяции амплитуд рассеяния при наличии ощибок в зкспериментальных данных. Мы покаэываем, что стабилиэации с помошью теоретической нормыφ или с помошью подгонок с соответствуюшими конечномерными параметриэациями свяэаны между собой простым обраэом. Второй метод представляет частный случай первого. Оставщиеся свойства аналитической зкстраполяции эависят от дополнительных деталейφ, а также от числаN членов, необходимых для получения приемлемой подгонки зкспериментальных данных. Теоретическая нормаφ может быть просто свяэана с испольэуемой мерой устойчивости, тогда как эависимость отN преврашает зкстраполяцию в нелинейную проблему, так что остается только воэможность численной проверки. В свяэи с зтим докаэывается, что рациональные функции являются более удобными, чем конформное отображение полиномами. Укаэанное утверждение демонстрируется на примере πN инвариантных амплитуд.