A stable and convergent extrapolation procedure for the scattering amplitude.—I

Summary

The extrapolation of the amplitude out of its physical region being mathematically an «improper problem», it is not sufficient to have convergent expansions, one has to be also sure that the results are stable against small perturbations (experimental errors). In the present paper, this problem is solved by means of semi-convergent expansions in terms of conformal mappings of double connected domains. An optimization problem leads to an optimal mapping function, whose explicit form is then derived. Although a good deal of the paper is devoted to the mathematical side of this problem, the results can be used directly in the analysis of experimental data.

Riassunto

Poiché l'estrapolazione dell'ampiezza fuori dalla sua regione fisica è matematicamente un «problema improprio», non è sufficiente avere sviluppi convergenti, si deve anche essere sicuri che i risultati siano stabili rispetto alle piccole perturbazioni (errori sperimentali). In questo articolo si risolve il problema tramite sviluppi semiconvergenti in termini di rappresentazioni conformi di domini doppiamente connessi. Un problema di ottimizzazione porta ad una funzione di rappresentazione ottimale, di cui poi si deduce la forma esplicita. Quantunque una buona parte dell'articolo sia dedicata all'aspetto matematico di questo problema, i risultati possono essere direttamente usati nell'analisi dei dati sperimentali.

Резюме

Экстраполяция амплитуды вне ее физической области является недостаточным, чтобы иметь сходящиеся разложения. Кроме того, необходима уверенность, что результаты являются устойчивыми относительно малых возмущений (экспериментальных данных). В этой статье решается проблема экстраполяции с помощью полусходящихся разложений на основе конформных отображений двусвязных областей. Проблема оптимизации приводит к оптимальной функции отображения. Затем выводится точное выражение этой функции. Хотя, в основном, работа посвящена математической стороне проблемы, результаты могут быть использованы непосредственно при анализе экспериментальных данных.