Skip to main content

Algebra: Leitidee Symbol und Formalisierung

  • Chapter
  • First Online:
Handbuch der Mathematikdidaktik

Zusammenfassung

Die elementar-algebraische Formelsprache ist ein grundlegendes Darstellungsmittel der Mathematik und gehört zu den klassischen Stoffgebieten an weiterführenden Schulen. Wegen ihres hohen Abstraktionsgrades ist ihre Behandlung im Unterricht nach wie vor eine didaktische Herausforderung. Der folgende Artikel beschäftigt sich mit der Entwicklung der Formelsprache und den zugehörigen didaktischen Problemen.

unter Mitwirkung von Tatjana Berlin, Astrid Fischer, Dagmar Melzig

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this chapter

Chapter
USD 29.95
Price excludes VAT (USA)
  • Available as PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
eBook
USD 69.99
Price excludes VAT (USA)
  • Available as EPUB and PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever

Tax calculation will be finalised at checkout

Purchases are for personal use only

Institutional subscriptions

Notes

  1. 1.

    Vgl. MU 26(1980),1; MU 29(1983),2

Literatur

  • Alten, H.-W., Djafari Naini, A., Folkerts, M., Schlosser, H., Schlote, K.-H., & Wußing, H. (2003). 4000 Jahre Algebra. Geschichte – Kulturen – Menschen. Berlin: Springer.

    MATH  Google Scholar 

  • Andelfinger, B. (1985). Didaktischer Informationsdienst Mathematik. Thema: Arithmetik, Algebra und Funktionen. Soest: Landesinstitut für Schule und Weiterbildung.

    Google Scholar 

  • Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3), 24–35.

    MATH  Google Scholar 

  • Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7, 245–274.

    Article  Google Scholar 

  • Barzel, B., Herold, R., & Zeller, M. (2012). Computeralgebra im Mathematikunterricht: Ein Mehrwert – aber wann? Münster: Waxmann.

    Google Scholar 

  • Bednarz, N., Kieran, C., & Lee, L. (Hrsg.). (1996). Approaches to algebra. Perspectives for research and teaching Dordrecht: Kluwer.

    Book  MATH  Google Scholar 

  • Berlin, T. (2010). Algebra erwerben und besitzen. Eine binationale empirische Studie in der Jahrgangsstufe 5. Universität Duisburg-Essen, Duepublico, Dissertation.

    Google Scholar 

  • Berlin, T., Fischer, A., Hefendehl-Hebeker, L., & Melzig, D. (2009). Vom Rechnen zum Rechenschema – zum Aufbau einer algebraischen Perspektive im Arithmetikunterricht. In A. Fritz & S. Schmidt (Hrsg.), Fördernder Mathematikunterricht in der Sek. I. Rechenschwierigkeiten erkennen und überwinden (S. 270–291). Weinheim: Beltz.

    Google Scholar 

  • Bos, H., & Reich, K. (1990). Der doppelte Auftakt zur frühneuzeitlichen Algebra: Viète und Descartes. In E. Scholz (Hrsg.), Geschichte der Algebra. Eine Einführung (S. 183–234). Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

    Google Scholar 

  • Bulmer-Thomas, I. (1990). Der Aufstieg des griechischen algebraischen Denkens. In E. Scholz (Hrsg.), Geschichte der Algebra. Eine Einführung (S. 45–79). Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

    Google Scholar 

  • Cai, J., & Knuth, E. (Hrsg.). (2011). Early algebraization: A global dialogue from multiple perspectives. New York: Springer.

    Book  Google Scholar 

  • Cohors-Fresenborg, E. (2001). Mathematik als Werkzeug zur Wissensrepräsentation: Das Osnabrücker Curriculum. Der Mathematikunterricht, 47(1), 5–13.

    Google Scholar 

  • Cohors-Fresenborg, E., & Striethorst, A. (2003). Untersuchung individueller Unterschiede in der mentalen Repräsentation von symbolverarbeitenden Regelsystemen. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 35(3), 94–101.

    Article  Google Scholar 

  • Drijvers, P. (2003). Learning algebra in a computer algebra environment: Design research on the understanding of the concept of parameter. Utrecht: Universiteit Utrecht.

    Google Scholar 

  • Euklid. (1980). Die Elemente. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer. Damstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

    Google Scholar 

  • Fischer, R. (2003). Reflektierte Mathematik für die Allgemeinheit. In L. Hefendehl-Hebeker & S. Hußmann (Hrsg.), Mathematikdidaktik zwischen Empirie und Fachorientierung. Festschrift für Norbert Knoche (S. 42–52). Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Fischer, A. (2009). Zwischen bestimmten und unbestimmten Zahlen – Zahl- und Variablenauffassungen von Fünftklässlern. Journal für Mathematik-Didaktik, 30(1), 3–29.

    Article  Google Scholar 

  • Fischer, R., & Malle, G. (1985). Mensch und Mathematik. Eine Einführung in didaktisches Denken und Handeln. Mannheim: Bibliographisches Institut.

    Google Scholar 

  • Fischer, A., Hefendehl-Hebeker, L., & Prediger, S. (2010). Mehr als Umformen: Reichhaltige algebraische Denkhandlungen im Lernprozess sichtbar machen. Praxis der Mathematik in der Schule, 52(33), 1–7.

    Google Scholar 

  • Franke, M., & Wynands, A. (1991). Zum Verständnis von Variablen – Testergebnisse in 9. Klassen Deutschlands. Mathematik in der Schule, 29(10), 674–691.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: Reidel.

    Google Scholar 

  • Guin, D., & Trouche, L. (2002). Mastering by the teacher of the instrumental genesis in CAS environments: Necessity of intrumental orchestrations. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(5), 204–211.

    Article  Google Scholar 

  • Hankel, H. (1867). Theorie der complexen Zahlensysteme. Leipzig: Voss.

    Google Scholar 

  • Harper, E. (1987). Ghosts of Diophantus. Educational Studies in Mathematics, 18, 75–90.

    Article  Google Scholar 

  • Hischer, H. (1993). Wieviel Termumformung braucht der Mensch? Fragen zu Zielen und Inhalten eines künftigen Mathematikunterrichts angesichts der Verfügbarkeit informatischer Methoden. Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Hoch, M., & Dreyfus, T. (2004). Structure sense in high school algebra: The effect of brackets. In M. J. Hoines, A. B. Fuglestad (Hrsg.), Proceedings of the annual meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME) (28th, Bergen, Norway, July 14–18, 2004) (Vol. 3, S. 49–56).

    Google Scholar 

  • Hoch, M., & Dreyfus, T. (2006). Structure sense versus manipulation skills: An unexpected result. In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká, & N. A. Stehlíková (Hrsg.), Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, S. 305–312). Prague: Charles University, Faculty of Education.

    Google Scholar 

  • Hoffmann, M. H. G. (2005). Erkenntnisentwicklung. Ein semiotisch- pragmatischer Ansatz. Frankfurt a. M.: Vittorio Klostermann.

    Google Scholar 

  • Hoyrup, J. (1990). „Algebraische“ Prozeduren in der vorgriechischen Mathematik. In E. Scholz (Hrsg.), Geschichte der Algebra. Eine Einführung (S. 13–44). Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

    Google Scholar 

  • Jahnke, H. N. (Hrsg.). (1999). Geschichte der Analysis. Heidelberg: Spektrum.

    Book  MATH  Google Scholar 

  • Kambartel, F. (1996). Struktur. In J. Mittelstraß (Hrsg.), Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie (Bd 4, S. 107–109). Stuttgart: J. B. Metzler.

    Google Scholar 

  • Kaput, J. J. (2008). What is algebra? What is algebraic reasoning? In J. J. Kaput, D. W. Carraher, & M. L. Blanton (Hrsg.), Algebra in the early grades (S. 5–17). New York: Lawrence Erlbaum Associates.

    Google Scholar 

  • Kaput, J. J., Carraher, D. W., & Blanton, M. L. (Hrsg.). (2008). Algebra in the early grades. New York: Lawrence Erlbaum Associates.

    MATH  Google Scholar 

  • Kornersmann, R. (Hrsg.). (2007). Wörterbuch der philosophischen Metaphern. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

    Google Scholar 

  • Krämer, S. (1988). Symbolische Maschinen: Die Idee der Formalisierung in geschichtlichem Abriss. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

    Google Scholar 

  • Küchemann, D. (1978). Children’s understanding of numerical variables. Mathematics in School, 7(4), 23–26.

    Google Scholar 

  • Lagrange, J.-B., Artigue, M., Laborde, C., & Trouche, L. (2001). A meta study on IC technologies in education. Towards a multidimensional framework to tackle their integration. In M. v. d. Heuvel-Panhuizen (Hrsg.), Proceedings of the 25th conference of the international group for the psychology of mathematics education (Vol. 1, S. 111–122). Utrecht: Freudenthal Institute.

    Google Scholar 

  • Lakoff, G., & Núñes, R. E. (2000). Where mathematics comes from. How the embodied mind brings mathematics into being. New York: Basic Books.

    MATH  Google Scholar 

  • Linchevski, L., & Herscovics, N. (1996). Crossing the cognitive gap between arithmetic and algebra: Operating on the unknown in the context of equations. Educational Studies in Mathematics, 30(1), 39–65.

    Article  Google Scholar 

  • Linchevski, L., & Livneh, D. (1999). Structure sense: The relationship between algebraic and numerical contexts. Educational Studies in Mathematics, 40(2), 173–196.

    Article  Google Scholar 

  • Lützen, J. (1999). Grundlagen der Analysis im 19. Jahrhundert. In H. N. Jahnke (Hrsg.), Geschichte der Analysis (S. 191–244). Heidelberg: Spektrum.

    Chapter  Google Scholar 

  • MacGregor, M., & Stacey, K. (1997). Students’ understanding of algebraic notation: 11–15. Educational Studies in Mathematics, 33(1), 1–19.

    Article  Google Scholar 

  • Malle, G. (1986). Variable. Basisartikel mit Überlegungen zur elementaren Algebra. Mathematik lehren, 15, 3–8.

    Google Scholar 

  • Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Mainzer, K. (1995). Analyse. In J. Mittelstraß (Hrsg.), Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie (Bd 1, S. 100–102). Stuttgart: J. B. Metzler.

    Google Scholar 

  • Mason, J., Graham, A., & Johnston-Wilder, S. (2005). Developing thinking in algebra. Buckingham: The Open University.

    Google Scholar 

  • Melzig, D. (2013). Die Box als Stellvertreter. Ursprüngliche Erfahrungen zum Variablenbegriff. Dissertation. Essen: Universität Duisburg-Essen.

    Google Scholar 

  • Müller, G. N., Steinbring, H., & Wittmann, E. C. (Hrsg.). (2004). Arithmetik als Prozess. Seelze: Kallmeyer.

    Google Scholar 

  • Peschek, W., & Schneider, E. (2002). CAS in general mathematics education. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(5), 189–195.

    Article  Google Scholar 

  • Pickert, G. (1970). Logische Gesichtspunkte der Gleichungslehre. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 23(2), 78–83.

    Google Scholar 

  • Pickert, G. (1980). Bemerkungen zur Gleichungslehre. Der Mathematikunterricht, 26(1), 20–33.

    Google Scholar 

  • Prediger, S. (2009). Inhaltliches Denken vor Kalkül. Ein didaktisches Prinzip zur Vorbeugung und Förderung bei Rechenschwierigkeiten. In A. Fritz & S. Schmidt (Hrsg.), Fördernder Mathematikunterricht in der Sek. I. Rechenschwierigkeiten erkennen und überwinden (S. 213–234). Weinheim: Beltz.

    Google Scholar 

  • Radford, L. (2001). The historical origins of algebraic thinking. In R. Sutherland, T. Rojano, & R. Lins (Hrsg.), Perspectives on School Algebra (S. 13–63). Dordrecht: Kluwer.

    Google Scholar 

  • Radford, L. (2010). Signs, gestures, meanings: Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. In V. Durand-Guerrier, S. Soury Lavergne & F. Arzarello (Hrsg.), Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. January 28th – February 1st 2009, Lyon (France). Lyon, France: INRP. www.inrp.fr/editions/cerme6. Zugegriffen: 15. Feb. 2014.

    Google Scholar 

  • Radford, L. (2011). Grade 2 students’ non-symbolic algebraic thinking. In J. Cai & E. Knuth (Hrsg.), Early Algebraization (S. 303–322). Berlin: Springer.

    Chapter  Google Scholar 

  • Rüede, C. (2012). Strukturieren eines algebraischen Ausdrucks als Herstellen von Bezügen. Journal für Mathematik-Didaktik, 33(1), 113–141. doi:10.1007/s13138-012-0034-x.

    Article  Google Scholar 

  • Russell, S. J., Schifter, D., & Bastable, V. (2011). Developing algebraic thinking in the context of arithmetic. In J. Cai & E. Knuth (Hrsg.), Early algebraization (S. 43–69). Berlin: Springer.

    Chapter  Google Scholar 

  • Schoenfeld, A. H. (2008). Early algebra as mathematical sense making. In J. J. Kaput, D. W. Carraher, & M. L. Blanton (Hrsg.), Algebra in the early grades (S. 479–510). New York: Lawrence Erlbaum Associates.

    Google Scholar 

  • Schoenfeld, A. H., & Arcavi, A. (1988). On the meaning of variable. Mathematics Teacher, 81(6), 420–427.

    Google Scholar 

  • Scholz, E. (Hrsg.). (1990). Geschichte der Algebra. Eine Einführung. Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

    MATH  Google Scholar 

  • Sesiano, J. (1990a). Frühalgebraische Aspekte in der „Arithmetica“ Diophants. In E. Scholz (Hrsg.), Geschichte der Algebra. Eine Einführung (S. 81–96). Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

    Google Scholar 

  • Sesiano, J. (1990b). Rhetorische Algebra in der arabisch-islamischen Welt. In E. Scholz (Hrsg.), Geschichte der Algebra. Eine Einführung (S. 97–128). Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

    Google Scholar 

  • Sfard, A. (1995). The development of algebra: Confronting historical and psychological perspectives. Journal of Mathematical Behavior, 14, 15–39.

    Article  Google Scholar 

  • Sfard, A. (2000). Symbolizing mathematical reality into being—Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other. In P. Cobb, E. Yackel, & K. McClain (Hrsg.), Symbolizing and communicating in mathematics classroom. Perspectives on discourse, tools and instrumental design. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates.

    Google Scholar 

  • Sjuts, J. (1999). Mathematik als Werkzeug zur Wissensrepräsentation – Theoretische Einordnung, konzeptionelle Abgrenzung und interpretative Auswertung eines kognitions- und konstruktivismustheoriegeleiteten Mathematikunterrichts. Osnabrück: Forschungsinstitut für Mathematikdidaktik e.V.

    Google Scholar 

  • Sjuts, J. (2002). Unterschiedliche mentale Konstruktionen beim Aufgabenlösen. Eine Fallstudie zur Mathematik als Werkzeug zur Wissensrepräsentation. Journal für Mathematik-Didaktik 23(2), 106–128.

    Article  Google Scholar 

  • Sjuts, J. (2006). Diagnostische und didaktische Kompetenz auf Forschungsbasis: das Beispiel Zahlenmauern. In F. Rieß (Hrsg.), Einblicke in aktuelle Forschungszusammenhänge zum Mathematikunterricht (S. 21–37). Oldenburg: Didaktisches Zentrum.

    Google Scholar 

  • Specht, B. J. (2009). Variablenverständnis und Variablen verstehen. Empirische Untersuchungen zum Einfluss sprachlicher Formulierungen in der Primar- und Sekundarstufe. Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Steinweg, A. S. (2013). Algebra in der Grundschule: Muster und Strukturen, Gleichungen, funktionale Beziehungen. Berlin: Springer.

    Book  Google Scholar 

  • Sträßer, R. (2001). Cabri-géomètre: Does dynamic geometry software (DGS) change geometry and its teaching and learning? International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6(3), 319–333. doi:10.1023/a:1013361712895.

    Article  Google Scholar 

  • Thiel, C. (1996). Variable. In J. Mittelstraß (Hrsg.), Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie (Bd. 4. S. 473–475). Stuttgart: J. B. Metzler.

    Google Scholar 

  • Vohns, A. (2013). Zur Dialektik von Kohärenzerfahrungen und Differenzerlebnissen. Bildungstheoretische und sachnalytische Studien zur Ermöglichung mathematischen Verstehens. Klagenfurt: Habilitationsschrift.

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J. (2003). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum.

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J., & Weigand, H.-G. (2009). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum.

    Google Scholar 

  • Webb, D. C., & Abels, M. (2011). Restrictions in algebra. In P. Drijvers (Hrsg.), Secondary algebra education (S. 101–118). Rotterdam: Sense.

    Chapter  Google Scholar 

  • Weigand, H.-G., & Weth, T. (2002). Computer im Mathematikunterricht. Neue Wege zu alten Zielen. Heidelberg: Spektrum.

    Google Scholar 

  • Wille, R. (1994). Plädoyer für eine philosophische Grundlegung der begrifflichen Wissensverarbeitung. In R. Wille & M. Zickwolf (Hrsg.), Begriffliche Wissensverarbeitung. Grundlagen und Aufgaben (S. 11–25). Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. C., & Müller, G. N. (1990). Handbuch produktiver Rechenübungen. Vom Einspluseins zum Einmaleins (Vol. 1). Stuttgart: Ernst Klett.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. C., & Müller, G. N. (1991). Handbuch produktiver Rechenübungen. Vom halbschriftlichen und schriftlichen Rechnen (Vol. 2). Stuttgart: Ernst Klett.

    Google Scholar 

  • Wußing, H. (2008). 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Berlin: Springer.

    MATH  Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

Authors

Corresponding author

Correspondence to Lisa Hefendehl-Hebeker .

Editor information

Editors and Affiliations

Rights and permissions

Reprints and permissions

Copyright information

© 2015 Springer Berlin Heidelberg

About this chapter

Cite this chapter

Hefendehl-Hebeker, L., Rezat, S. (2015). Algebra: Leitidee Symbol und Formalisierung. In: Bruder, R., Hefendehl-Hebeker, L., Schmidt-Thieme, B., Weigand, HG. (eds) Handbuch der Mathematikdidaktik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-35119-8_5

Download citation

Publish with us

Policies and ethics