Über eine Approximation des Hartree-Fockschen Potentials Durch eine Universelle Potentialfunktion

Zusammenfassung

Eine der schwierigsten Fragen des Mehrteilchenproblems der Atomphysik ist — vom Gesichtspunkt der numerischen Berechnung — die Berücksichtigung der Austauschenergie. In den Berechnungen der statistischen Atomphysik wird diese Energie mit Hilfe eines Gliedes in Betracht gezogen, das wesentlich einfacher als der ihm entsprechende wellenmechanische Ausdruck ist und das mit der Gesamtdichte ϱ der im Atom vorhandenen elektronen im Zusammenhang steht. Die Austauschenergiedichte beträgt γ _a = (4/3) ϰ _a ϱ^1/3. In einer früheren Arbeit des Verfassers wurde der Nachweis geführt, dass die mit der Methode des ≫self-consistent field≪ ohne Berücksichtigung der austauschenergie bestimmten reduzierten effektiven KernladungenZ _p/Z durch eine universelle, von der Ordnungszahl unabhängige Funktion beschrieben werden können, wenn man als unabhängige Variable die zum Abstandr vom Kern proportionale Grössex=r/μ einführt. In der vorliegenden Arbeit wird nunmehr gezeigt, dass auch die Grösse ϱ^1/3/Z ^2/3 in der gleichen Näherung und mit der gleichen unabhängigen variablen wie oben durch eine universelle Funktion beschrieben werden kann. Mit dem so gewonnenen dichteausdruck lässt sich also das statistische Austauschpotential in einer universellen Form angeben und dann bei wellenmechanischen Berechnungen verwenden. Es ist zu erwarten, dass die Summe von Austauschpotential und von dem in der vorigen Arbeit bestimmten elektrostatischen Potential eine gute Näherung für das hartree-Focksche Potential darstellt. Mit diesem Potential wurden Berechnungen durchgeführt, um die Eigenfunktionen und die Energie der Elektronen des freien Cu-Atoms zu bestimmen. Die Integration der Einelektron-Schrödingergleichung erfolgte auf numerischem Wege. Die Ergebnisse sind in den Tabellen II–X enthalten, wo auch die Lösungen der Fockschen Gleichungen für das Cu⁺-Ion zu Vergleichszwecken angeführt sind. Aus den Angaben der Tabellen geht deutlich hervor, dass die nach der hier vorgeschlagenen Methode berechneten eigenfunktionen und Eigenwerte mit den nach der Hartree-Fockschen Methode ermittelten Eigenfunktionen und Energiewerten gut übereinstimmen.

Резюме

В связи с нумерическими расчетами одной из труднейших проблем теории многих частиц в атомной физике является учет обменной энергии. Эта энергия учитывается в расчетах статистической теории атомов с помощью выражения, являющегося более простым чем соответствующее выражение волновой механики, и имеющего тесную связь с суммарной плотностью электронов. Плотность обменной энергии имеет вид

$$\gamma _a = \left( {{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 4$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 3$}}} \right) \kappa _a \rho ^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 3$}}} $$

В предыдущей работе было показано, что редуцированный эффективный заряд фдра, определенный с помощью метода ≫самосогласованного поля≪ без учета обменной энергии, выражается универсальной функцией, независящей от порядкового номера атомов, если вести независимую переменную, пропорциональную расстояниюr от ядра, в видеx=r/μ.

В настоящей работе показано, что величина ϱ^1/3/Z ^2/3 является также универсальной функцией при вышеуказанных условиях.

Полученное, таким образом, выражение для плотности можно использовать для определения статистического обменного потенциала в универеальной форме и для применения этого универсального потенциала в квантовомеханических расчетах. Таким образом, можно ожидать, что сумма обменного потенциала и электростатистического потенциала, полученного в предыдущей работе, хорошо аппроксимирует потенциал Хартри-Фока. С помощью этого потенциала нами были опрелены собственные функции и энергии своводного атома Cu. Интегрирование уравнения Шредингера одноэлектронной проблемы производилось нумерически. Результаты составлены в таблицах II–X, где для сравнения приведены решения уравнения фока в случае иона Cu⁺.

Из таблиц видно, что собственные функции и энергии, расчитанные нами, хорошо согласуются с ообственными функциями и энергиями, полученными с помощью метода Хартри-Фока.