Simple treatment of central force collisions with particular reference to phase shift calculation

Summary

The problem of finding the positive energy solutions of the radial Schrödinger equation for a spherical potential behaving at infinity as r⁻ⁿ,n ≥ 2, is considered once again with particular reference to asymptotic phase shift determination. It is shown that by a proper choice of the unknown function, the Riccati equation of the problem transforms into a fairly simple 1-st order equation admittig an everywhere real, finite and single-valued solution (indeed, a very simple varying one and thus particularly suited to be computed by numerical integration) which leads directly to the asymptotic phase shift by given energy and momentum. If needed, the eigenfunction itself can be deduced, this step requiring only to perform ad additional quadrature. The numerical integration is restricted to a reasonable range. This and the nature of the solution make the computational work not unduly heavy, even by « hand » computation. Another valuable feature of the method is the ease with which the accuracy attained can be evaluated.

Riassunto

Si esamina una volta di piu —e con particolare riguardo al calcolo delle fasi asintotiche —il problema della ricerca delle soluzioni a energia positiva dell’equazione di Schrödinger radiale, per potenziali che si comportano all’infinito come r⁻ⁿ,n ≥2. Si mostra che una scelta appropriata della funzione incognita permette di trasformare l’equazione di Riccati del problema in un’equazione del 1‡ ordine piuttosto semplice, la cui soluzione —che si presta particolarmente a essere ricavata con procedimenti di integrazione numerica —conduce direttamente alla fase asintotica per un dato valore dell’energia e del momento angolare. Ove occorra, la corrispondente autofunzione si puÒ ricavare mediante un’ulteriore quadratura.