Summary
This paper proves the existence of (at least) one solution of the following variational inequality:
Here A is an operator of Leray-Lions type acting from W 1,p0 (Ω) into W−1,p′(Ω) and H grows like ¦Du¦p. The obstacle ψ is a measurable function with values in\(\bar R\), the only hypothesis being\(\{ \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ):\upsilon \geqslant \psi a.e in \Omega \} \ne 0/\). This allows ψ to be −∞, recovering the case where (*) is an equation. Finally there is no smoothness assumptions on the data: Ω is a bounded open set inR N, A and H are defined from Carathéodory functions.
Résumé
Dans cet article nous montrons l'existence d'(au moins) une solution de l'inéquation variationnelle
où A est un opérateur de type Leray-Lions défini sur W 1,po (Ω), à valeurs dans W−1,p′(Ω) et où la croissance de H est au plus en ¦Du¦p. L'obstacle ψ est une fonction mesurable à valeurs dans> \(\bar R\), la seule hypothèse étant que le convexe\(\{ \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ):\upsilon \geqslant \psi p.p. dans \Omega \} \) n'est pas vide: ainsi le cas ψ=−∞ (qui correspond aucas ou (*) est une équation) est également traité. Enfin il n'y a aucune hypothèse de régularité sur les données: Ω est un ouvert borné deR n, et A et H sont définis à partir de fonctions de Carathéodory.
Sunto
In questo lavoro si prova un risultato di esistenza di soluzioni délia disequazione variazionale
dove A é un operatore del lipo di Leray-Lions difinito suW 1,v0 (Ω) e a valori inW 1,v(Ω), e H é una funzione de Carathéodory che cresce al piú come |Du|v. La sola ipotesi che si fa su ψ é che\(\{ \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ):\upsilon \geqslant \psi q.o. in \Omega \} \ne 0/\); ψ é una funzione misurable a valori in\(\bar R\): questo permette ψ=−∞ e in tal caso (*) diventa una equazione. In fine, non viene fatta nessuna ipotesi di regolarita sui dati: Ω é un aperto limitato diR N ed A e H sono definiti a patire da funzioni di Caratheodory.
Article PDF
Similar content being viewed by others
References
H. Amann -M. G. Crandall,On some existence theorems for semilinear elliptic equa- tions, Indiana Univ. Math. J.,27 (1978), pp. 779–790.
L. Boccardo,An L s-estimate for the gradient of solutions of some nonlinear unilateral problems, Ann. Mat. Pura Appl.,141 (1985), pp. 277–287.
L. Boccardo -F. Murat -J. P. Puel,Existence de solutions faibles pour des équations elliptiques quasilinéaires à croissance quadratique, in Konlinear partial differential equations and their applications, Collège de France Seminar, Vol. IV, ed. byH. Brezis andJ. L. Lions, Research Notes in Mathematics,84 Pitman, London, (1983), pp. 19–73.
L. Boccardo -F. Murat -J. P. Puel,Résultats d'existence pour certains problèmes elliptiques quasilinéaires, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,11 (1984), pp. 213–235.
A, Bensoussan -J. Frehse,Nonlinear elliptic systems in stochastic game theory, J. reine ang. Math.,350 (1984), pp. 23–67.
A. Bensoussan -J. Frehse -U. Mosco,A stochastic impulse control problem with quadratic growth Mamiltonian and the corresponding quasi-variational inequality, J. reine ang. Math.,331 (1982), pp. 124–145.
H. Brezis,Equations et inéquations non linéaires dans les espaces en dualité, Ann. Inst. Fourier,18 (1968), pp. 115–175.
H. Brezis,Problèmes unilatéraux, J. Math. Pures et Appl.,51 (1972), pp. 1–168.
F. E. Browder,Existence theorems for nonlinear partial differential equations, in Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. XVI, ed. byS. S. Chern andS. Smale, American Mathematical Society, Providence, (1970), pp. 1–60.
P. Donato -D. Giachetti,Quasilinear elliptic equations with quadratic growth in unbounded domains, Nonlinear Anal. T.M.A.,10 (8) (1986), pp. 791–804.
P. Donato -D. Giachetti,Unilateral problems with quadratic growth in unbounded domains, Boll. Un. Mat. Ital., (6)5 A (1986), pp. 361–369.
D. Kinderlehrer -G. Stampacchia,An introduction to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York, 1980.
P. Hartman -G. Stampacchia,On some nonlinear elliptic differential functional equations, Acta Math.,115 (1966), pp. 153–188.
J. Leray -J. L. Lions,Quelques résultats de Visik sur les problèmes elliptiques non linéaires par les méthodes de Minty-Browder, Bull. Soc. Math. France,93 (1965), pp. 97–107.
J. L. Lions,Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod et Gauthier Villars, Paris, 1969.
P. L. Lions,Résolution de problèmes elliptiques quasilinéaires, Arch. Rat. Mech. Anal.,74 (1980), pp. 336–353.
P. L. Lions,Quelques remarques sur les problèmes elliptiques quasilinéaires du second ordre, J. Anal. Math.,45 (1985), pp. 234–254.
J. M.Rakotoson - R.Temam,Relative rearrangement in quasilinear variational inequalities, to appear.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Boccardo, L., Murat, F. & Puel, J.P. Existence of bounded solutions for non linear elliptic unilateral problems. Annali di Matematica pura ed applicata 152, 183–196 (1988). https://doi.org/10.1007/BF01766148
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01766148