Summary
We give a complete characterization of the operator-valued processes which are integrable, in the sense of [6], with respect to a fixed Hilbertvalued square integrable martingale M. This characterisation allows to complete the theory of stochastic integration with respect to Hilbert-valued martingales. In particular, we give a construction of the process ≪M, N≫ (predictable compensator of M⊗N), as well as a Hilbert-valued version of the Kunita-Watanabe inequality. Finally, we deal with the distributivity of the stochastic integral X·M with respect to the martingale M: this property can be usefully applied to obtain a simple proof of a representation theorem of Gal'tchouk-Métivier.
The results of this article have been announced in Comptes Rendus Note [1].
Article PDF
Similar content being viewed by others
Bibliographie
Asperti, C.: Sur l'intégration stochastique par rapport à une martingale hilbertienne de carré intégrable. C.R. Acad. Sc. Paris, Série I 304, 241–244 (1987)
Brézis, H.: Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. Paris: Masson 1983
Köthe, G.: Topological vector spaces II. Berlin Heidelberg New York: Springer 1980
Letta, G.: Martingales et intégration stochastique. Pisa: Scuola Normale Superiore 1984
Métivier, M.: Reelle und vektorwertige Quasimartingale und die Theorie der stochastischen Integration. Berlin Heidelberg New York: Springer 1977
Métivier, M.: Stochastic Integration with respect to Hilbert-valued martingales, representation theorems and infinite dimensional filtering. In: Measure Theory Applications to Stochastic Analysis, pp. 13–25. Berlin Heidelberg New York: Springer 1978
Métivier, M.: Semimartingales. Berlin New York: de Gruyter 1982
Métivier, M., Pellaumail, J.: Stochastic integration. New York: Academic Press 1980
Métivier, M., Pistone, G.: Une formule d'isométrie pour l'intégrale stochastique hilbertienne et équations d'évolution linéaires stochastiques. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb. 33, 1–18 (1975)
Meyer, P.-A.: Notes sur les intégrales stochastiques I. Intégrales hilbertiennes. In: Séminaire de Probabilités XI, pp. 446–462. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1977
Ouvrard, J.Y.: Représentation de martingales vectorielles de carré intégrable à valeurs dans des espaces de Hilbert réels séparables. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb. 33, 195–208 (1975)
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Asperti, C. Sur l'intégration stochastique par rapport à une martingale hilbertienne de carré intégrable. Probab. Th. Rel. Fields 81, 139–158 (1989). https://doi.org/10.1007/BF00343740
Received:
Revised:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF00343740