Some stability results of positive mass theorem for uniformly asymptotically flat 3-manifolds

Abstract

In this paper, we show that for a sequence of orientable complete uniformly asymptotically flat 3-manifolds $(M_i, g_i)$ with nonnegative scalar curvature and ADM mass $m(g_i)$ tending to zero, by subtracting some open subsets $Z_i$, whose boundary area satisfies $\textrm{Area}(\partial Z_i) \le C m(g_i)^{\frac{1}{2}- \varepsilon }$, for any base point $p_i \in M_i{\setminus } Z_i$, $(M_i{\setminus } Z_i, g_i, p_i)$ converges to the Euclidean space $({\mathbb {R}}^3, g_E, 0)$ in the $C^0$ modulo negligible volume sense. Moreover, if we assume that the Ricci curvature is uniformly bounded from below, then $(M_i, g_i, p_i)$ converges to $({\mathbb {R}}^3, g_E, 0)$ in the pointed Gromov–Hausdorff topology.

Résumé

Dans cet article, nous démontrons que pour une suite de variétés tridimensionnelles orientables, complètes et uniformément asymptotiquement plates $(M_i, g_i)$ avec courbure scalaire non négative et dont la masse ADM $m(g_i)$ tend vers zéro, en enlevant certains sous-ensembles ouverts $Z_i$, dont la zone de frontière satisfait $\textrm{Aire}(\partial Z_i) \le C \cdot m(g_i)^{\frac{1}{2} - \varepsilon }$, pour tout point de base $p_i \in M_i {\setminus } Z_i$, le triplet $(M_i {\setminus } Z_i, g_i, p_i)$ converge vers l’espace euclidien $({\mathbb {R}}^3, g_E, 0)$ dans le sens $C^0$, modulo un volume négligeable. De plus, si nous supposons que la courbure de Ricci est uniformément bornée inférieurement, alors le triplet $(M_i, g_i, p_i)$ converge vers $({\mathbb {R}}^3, g_E, 0)$ pour la topologie de Gromov–Hausdorff pointée.