Zusammenfassung
Der Diskussionsbeitrag bemüht sich um die Überprüfung einer Reihe von zentralen, im deutschen Sprachraum weit verbreiteten Empfehlungen zur Erarbeitung des „Hunderterraums“ und kommt dabei zu dem Schluss, dass manches, was im deutschsprachigen Mathematikunterricht Tradition hat, den Aufbau von Einsicht in das dezimale Stellenwertsystem vermutlich unnötig erschwert.
Abstract
The discussion paper tries for an examination of some central recommendations for teaching the numbers up to 100 common in German-speaking countries. It is concluded that a number of traditional measures is probably impeding the construction of an adequate understanding of the base-ten place-value system.
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Notes
Ich widerspreche damit, bei sonst großer Zustimmung, der Einschätzung von Anna Sfard (2002, S. 81), dass „trying to talk without metaphors about anything – metaphors included! – turns out to be an impossible task“. Tatsächlich spricht Sfard in diesem äußerst anregenden Beitrag (wie auch sonst in ihrem Werk) an vielen Stellen auch metaphernfrei, v. a. aber, und das ist in unserem Zusammenhang wesentlicher, hält sie (unter Zuhilfenahme einer Metapher…) fest: „We must always remain alert to the possibility that even the most useful of our metaphors may turn into obstacles to thinking if they are taken too literally or if we interpret them uncritically“ (Sfard 2002, S. 82). Das gilt, wie ich zu zeigen versuche, auch für die Metapher des „Zahlenraums“.
Das gilt jedenfalls für einen Zahlenstrahl, der zwei- und mehrstellige Zahlen umfasst. Will man den Zahlenstrahl schon im Anfangsunterricht für die Zahlen bis 10 und 20 ins Spiel bringen (wofür wenig spricht; vgl. Gaidoschik 2002, S. 84), tut man vermutlich gut daran, vor allem die Fünferstruktur hervorzuheben.
Er taugt dann allenfalls als (Vorstellungs-)Hilfe für das Vorwärts und Rückwärts in Einerschritten; aber auch diesem sind bei fehlender Einsicht ins Bündelungs- und Positionsprinzip enge Grenzen gesetzt (siehe Punkt 2.2).
Erwachsenen ist in der Regel zumindest im zwei- und dreistelligen Bereich das Bündelungsprinzip (zumindest implizit) ebenso geläufig, wie ihnen in diesem Bereich die Orientierung am Zahlenstrahl leicht fällt. Die Abhängigkeit der Orientierung am nicht schon vorstrukturierten Zahlenstrahl vom Wissen über das Bündelungsprinzip mag für sie deshalb schwer nachvollziehbar sein. Deutlich wird diese Abhängigkeit auch für Erwachsene in ihnen weniger vertrauten Zahlenräumen. Ich jedenfalls wüsste nicht, wie ich ohne Nachdenken über (Ent-)Bündelungen herausfinden könnte, welche Zahl „genau in der Mitte zwischen“ z. B. 0,1 und 0,101 liegt. Aber schon die „Mitte zwischen 5.000.000 und 5.100.000“ ist, wie ich aus Lehrveranstaltungen für angehende Primarstufenlehrkräfte weiß, auch für Erwachsene nicht trivial. Für Kinder kann das Finden der „Mitte zwischen 50 und 60“ auf einem nur mit Zehnermarkierungen versehenen Zahlenstrahl eine ähnliche Herausforderung darstellen.
Ein mögliches Argument: Sicherheit im Bereich der Zahlen bis 100 (und nicht darüber hinaus) ist Voraussetzung für die Erarbeitung des kleinen Einmaleins, welches gleichfalls ein zentraler Inhalt des zweiten Schuljahres ist. Es ist für die Erarbeitung des Einmaleins ausreichend, die Zahlen nur bis 100 zu behandeln. Dagegen würde es den Bogen des Curriculums überspannen und zu Lasten anderer Inhalte gehen, wenn schon im zweiten Schuljahr das Dezimalsystem über 100 hinaus thematisiert würde. Gegenargument 1: Die Verteilung von Inhalten auf Schuljahre sollte nicht unantastbare Vorgabe, sondern selbst Gegenstand fachdidaktischer Forschung sein. Gegenargument 2: Vielleicht erreichen wir die für das Einmaleins nötige Sicherheit im Umgang mit zweistelligen Zahlen mit höherer Wahrscheinlichkeit, wenn wir Bündelung und Position auch über 100 hinaus zum Thema machen. Näheres dazu im Folgenden.
Vor allem diesen Grund: Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren erfordert eine Reihe von Strategien, die über das Anwenden dekadischer Analogien hinausreichen (vgl. Padberg u. Benz, S. 174–184). Anspruchsvollere Strategien müssen wohl zunächst mit zweistelligen Zahlen geklärt und gefestigt werden; und das benötigt seine Zeit. Im Übrigen will ich gewiss nicht alles umstoßen: Wenn etwa das kleine Einmaleins im zweiten Schuljahr bleiben soll, dann benötigen wir dafür Geläufigkeit im Addieren und Subtrahieren bis 100, aber nicht darüber hinaus. Also sollten wir uns im zweiten Schuljahr vor der Behandlung des Einmaleins auch auf diesen Bereich konzentrieren. Die Ausflüge in den drei- und mehrstelligen Bereich sollen dies unterstützen (siehe oben), nicht verdrängen.
Es gibt aber durchaus ermutigende Praxisberichte, vgl. etwa Ammareller 2008.
Natürlich bleibt es jeder Lehrkraft überlassen, das, was im Schulbuch auf wenigen Seiten zusammengestellt ist, im Unterricht über viele Wochen und Monate zu verteilen; Näheres dazu aber weiter unten.
Höckmair (2009) befragte für ihre Dissertation 150 bayrische Lehrkräfte zu ihrem Materialeinsatz im ersten und zweiten Schuljahr. Die Hundertertafel wurde gemäß Selbstauskunft von 97 % der Lehrkräfte für Veranschaulichungen verwendet, aber nur 79 % gaben an, dass auch ihre SchülerInnen die Hundertertafel „konkret genutzt“ hätten. Was genau mit der Hundertertafel gemacht wurde, wird „nicht näher beschrieben“ (Schipper 2011, S. 84).
Schipper et al. besprechen die Fehler zwar als Fehler am Hunderterfeld. Tatsächlich verlangt der BIRTE 2 aber, in Ziffern notierte zweistellige Zahlen einzelnen Punkten des Hunderterfeldes zuzuordnen. Das Hunderterfeld wird dadurch de facto in eine Hundertertafel umfunktioniert (vgl. Schipper et al. 2011, S. 72).
Vgl. dazu das Fazit, das Cobb (1995, S. 375 f.) aus Beobachtungen an vier Zweitklässerlnnen zieht, die im Unterricht 10 Wochen lang mit der Hundertertafel arbeiteten: „The analyses presented above indicate that the four children’s use of the hundreds board did not support their construction of increasingly sophisticated conceptions of ten. […] It appears instead that the children’s efficient use of the hundreds board was made possible by their construction of increasingly sophisticated place-value conceptions.“
Literatur
Ammareller, M. (2008). Die nicht-invertierte Zahlensprechweise im arithmetischen Anfangsunterricht – ein Versuch. In L. Gerritzen (Hrsg.), Zwanzigeins. Für die unverdrehte Zahlensprechweise. Fakten – Argumente – Meinungen (S. 65–71). Bochum: Brockmeyer.
Aster, M. von (2005). Wie kommen Zahlen in den Kopf? Ein Modell der normalen und abweichenden Entwicklung zahlenverarbeitender Hirnfunktionen. In M. von Aster & J. H. Lorenz (Hrsg.), Rechenstörungen bei Kindern. Neurowissenschaft, Psychologie, Pädagogik (S. 13–33). Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.
Cheng, Z. J., & Chan, L. K. S. (2005). Chinese number-naming advantages? Analyses of Chinese pre-schoolers’ computational strategies and errors. International Journal of Early Years Education, 13(2), 179–192.
Cobb, P. (1995). Cultural tools and mathematical learning: A case study. Journal for Research in Mathematics Education, 26(4), 362–385.
Cobb, P., & Wheatley, G. (1988). Children’s initial understandings of ten. Focus on Learning Problems in Mathematics, 10(3), 1–28.
Dehaene, S. (1992). Varieties of numerical abilities. Cognition, 44(1–2), 1–42.
Drewer, P. (2003). Die kognitive Metapher als Werkzeug des Denkens. Zur Rolle der Analogie bei der Gewinnung und Vermittlung wissenschaftlicher Erkenntnisse. Tübingen: Gunter Narr Verlag.
Ejersbo, L. R., & Misfeldt, M. (2011). Danish number names and number concepts. In M. Pytlak, T. Rowland, & E. Swoboda (Hrsg.), Proceedings of the Seventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education CERME 7 (S. 297–306). Rzeszow: University of Rzeszow.
Freesemann, O. (2014). Schwache Rechnerinnen und Rechner fördern. Eine Interventionsstudie an Haupt-, Gesamt- und Förderschulen. Wiesbaden: Springer Spektrum.
Fuson, K. C. (1990). Issues in place-value and multidigit addition and subtraction learning and teaching. Journal for Research in Mathematics Education, 21(4), 273–280.
Fuson, K. C., Wearne, D., Hiebert, J. C., Murray, H. G., Human, P. G., Olivier, A. I., Carpenter, T. P., & Fennema, E. (1997). Children’s conceptual structures for multidigit numbers and methods of multidigit addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 28(2), 130–162.
Gaidoschik, M. (2002). Rechenschwäche – Dyskalkulie. Eine unterrichtspraktische Einführung für LehrerInnen und Eltern. Wien: g & g.
Gaidoschik, M. (2008). „Rechenschwäche“ in der Sekundarstufe: Was tun? Journal für Mathematik-Didaktik, 29(3/4), 287–294.
Gaidoschik, M. (2010). Wie Kinder rechnen lernen – oder auch nicht. Eine empirische Studie zur Entwicklung von Rechenstrategien im ersten Schuljahr. Frankfurt a. M.: Peter Lang.
Gerritzen, L. (Hrsg.) (2008). Zwanzigeins. Für die unverdrehte Zahlensprechweise. Fakten – Argumente – Meinungen. Bochum: Brockmeyer.
Gerritzen, L. (2009). Zwanzigeins statt einundzwanzig – zur Geschichte und Didaktik der verdrehten Zahlensprechweisen. In M. Neubrand (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2009 (S. 571–574). Münster: WTM-Verlag.
Gerster, H. D. (2009). Schwierigkeiten bei der Entwicklung arithmetischer Konzepte im Zahlenraum bis 100. In A. Fritz, A. Ricken, & S. Schmidt (Hrsg.), Rechenschwäche. Lernwege, Schwierigkeiten und Hilfen bei Dyskalkulie (2. Aufl., S. 248–268). Weinheim: Beltz.
Gerster, H. D., & Schultz, R. (2000). Schwierigkeiten beim Erwerb mathematischer Konzepte im Anfangsunterricht. Bericht zum Forschungsprojekt Rechenschwäche – Erkennen, Beheben, Vorbeugen. Freiburg im Breisgau: PH Freiburg. http://www.google.at/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&ved=0CEgQFjAG&url=http%3A%2F%2Fwww.schuleundgesundheit.hessen.de%2Ffileadmin%2Fcontent%2FThemen%2Fas%2Fforschungsbericht_dyslex.pdf&ei=brKWVI-KBYq8UZC-g6AL&usg=AFQjCNEvivdqa3JI74LmJ67zzxwMuxHBMw&bvm=bv.82001339, d.d24. Zugegriffen: 16. März 2015.
Gray, E. (2003). Compressing the counting process. Developing a flexible interpretation of symbols. In I. Thompson (Hrsg.), Teaching and learning early number (S. 63–72). Maidenhead: Open University Press.
Hasemann, K., & Gasteiger, H. (2014). Anfangsunterricht Mathematik. Berlin: Springer.
Hengartner, E., Hirt, U., Wälti, B., & Primarschulteam Lupsingen (2006). Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Zug: Klett und Balmer.
Höckmair, B. (2009). Mit den Händen fühlen, denken, lernen – Konkrete Arbeitsmittel im Unterricht. Regensburg: S. Roderer.
Houdement, C., & Chambris, C. (2013). Why and how to introduce numbers units in 1st- and 2nd-grades. In B. Ubuz, Ç. Haser, & M. A. Mariotti (Hrsg.), Proceedings of the eight Congress of the European Society for Research in Mathematics Education CERME 8 (S. 313–322). Ankara: Middle East Technical University.
Humbach, M. (2008). Arithmetische Basiskompetenzen in der Klasse 10. Quantitative und qualitative Analysen. Berlin: Verlag Dr. Köster.
Kamii, C. (1986). Place value: An explanation of its difficulty and implications for the primary grades. Journal of Research in Childhood Education, 1(2), 75–86.
Klöckener, J. (1990). Schreibrichtungsinversion beim Schreiben zweistelliger Zahlen – eine Untersuchung über Ursachen und Abhilfen. Mathematische Unterrichtspraxis, 11(3), 15–30.
Kolter, J. (2014). So schwer kann das mit dem Bündeln doch nicht sein: Vorstellungen und Schwierigkeiten Studierender zum Bündelungsprinzip. In J. Roth & J. Ames (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2014 (S. 639–642). Münster: Waxmann.
Krämer, J. (2012). „14.057, das sind 7 Einer, 50 Zehner und 14 Tausender“ – (Fehl-)Vorstellungen von Studierenden zum Bündelungsprinzip in Stellenwertsystemen. In M. Ludwig & M. Kleine (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2012 (S. 489–492), Münster: Waxmann.
Krauthausen, G., & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik. Heidelberg: Spektrum.
Lorenz, J. H. (1992). Anschauung und Veranschaulichungsmittel im Mathematikunterricht. Mentales visuelles Operieren und Rechenleistung. Göttingen: Hogrefe.
Lorenz, J. H. (2005). Grundlagen der Förderung und Therapie. In M. von Aster & J. H. Lorenz (Hrsg.), Rechenstörungen bei Kindern. Neurowissenschaft, Psychologie, Pädagogik (S. 165–177). Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.
Lorenz, J. H. (2007). Mathematikus 2. Lehrermaterialien. Braunschweig: Westermann.
Lorenz, J. H. (2010). Der leere Zahlenstrahl. Hilfe bei der Entwicklung von Zahlensinn, Zahlraumerweiterungen und Rechenstrategien. Mathematik differenziert, 2, 10–12.
Lorenz, J. H. (2011). Anschauungsmittel und Zahlenrepräsentationen. In A. Steinweg (Hrsg.), Medien und Materialien. Tagungsband des AK Grundschule in der GDM (S. 39–54). Bamberg: University of Bamberg Press.
Maier, H. (2010). Denken und Rechnen 2. Ausgabe Bayern. Braunschweig: Westermann.
Miller, K., Smith C. M., Zhu, J., & Zhang, H. (1995). Preschool origins of cross-national differences in mathematical competence: The role of number-naming systems. Psychological Science, 6(1), 56–60.
Miura, I. T., Kim, C. C., Chang, C. -M., & Okamoto, Y. (1988). Effects of language characteristics on children’s cognitive representation of number: Cross-national comparisons. Child Development, 59(6), 1445–1450.
Montessori, M. (2012). Psychoarithmetik. Freiburg: Herder.
Moser Opitz, E. (2007). Rechenschwäche/Dyskalkulie: Theoretische Klärungen und empirische Studien an betroffenen Schülerinnen und Schülern. Bern: Haupt.
Moser Opitz, E. (2010). Bir, iki, ütsch: Verbale Zählkompetenzen von bilingualen und türkischsprachigen Kindern. In C. Böttinger, K. Bräuning, M. Nührenbörger, R. Schwarzkopf, & E. Söbbeke (Hrsg.), Mathematik im Denken der Kinder. Anregungen zur mathematik-didaktischen Reflexion (S. 88–93). Seelze: Kallmeyer.
Padberg, F., & Benz, Ch. (2011). Didaktik der Arithmetik. Berlin: Springer.
Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R., & Ebeling, A. (1998). Handbuch für den Mathematikunterricht, 2. Schuljahr. Hannover: Schroedel.
Rinkens, H. D., & Höhnisch, K. (2012). Welt der Zahl 2. Ausgabe Bayern. Hannover: Schroedel.
Rottmann, T., & Schipper, W. (2002). Das Hunderter-Feld – Hilfe oder Hindernis beim Rechnen im Zahlenraum bis 100? Journal für Mathematik-Didaktik, 23(1), 51–74.
Schäfer, J. (2005). Rechenschwäche in der Eingangsstufe der Hauptschule. Hamburg: Kovač.
Scherer, P. (2009). Diagnose ausgewählter Aspekte des Dezimalsystems bei lernschwachen Schülerinnen und Schülern. In M. Neubrand (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2009 (S. 835–838). Münster: WTM-Verlag.
Scherer, P., & Moser Opitz, E. (2010). Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe. Heidelberg: Spektrum.
Schieder, M. (1996). Montessori-Mathematik. Handbuch für den Elementarbereich. Kleine Kinder lieben große Zahlen. Reutlingen: Riedel.
Schipper, W. (2003). Lernen mit Material im arithmetischen Anfangsunterricht. In M. Baum & H. Wielpütz (Hrsg.), Mathematik in der Grundschule. Ein Arbeitsbuch (S. 221–237). Kallmeyer: Seelze.
Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Hannover: Schroedel.
Schipper, W. (2011). Vom Calculieren zum Kalkulieren – Materialien als Lösungs- und als Lernhilfen. In A. Steinweg (Hrsg.), Medien und Materialien. Tagungsband des AK Grundschule in der GDM (S. 71–85). Bamberg: University of Bamberg Press.
Schipper, W., Wartha, S., & von Schroeders, N. (2011). BIRTE 2. Bielefelder Rechentest für das zweite Schuljahr. Handbuch zur Diagnostik und Förderung. Braunschweig: Schroedel.
Schmassmann, M., & Diener, M. (2014). Wie viele Punkte hat das Hunderterfeld? Grundschulmagazin, 1, 7–13.
Sfard, A. (2002). Thinking in metaphors and metaphors for thinking. In D. Tall & M. Thomas (Hrsg.), Intelligence, learning and understanding in mathematics: A tribute to Robert Skemp (S. 79–96). Flaxton: Post Pressed.
Söbbeke, E. (2005). Zur visuellen Strukturierungsfähigkeit von Grundschulkindern – Epistemologische Grundlagen und empirische Fallstudien zu kindlichen Strukturierungsprozessen mathematischer Anschauungsmittel. Hildesheim: Franzbecker.
Van de Walle, J. A. (2004). Elementary and middle school mathematics. Teaching developmentally. Boston: Pearson.
Van Luit, J. E. H. (2007). Twee tienen en zeven. Meer rekeninzicht met Koreaanse getalbenoeming [Two tens and seven. More insight in math with Korean number naming]. Balans Magazine, Tijdschrift voor Leer-, Ontwikkelings- en Gedragsstoornissen, 20(4), 34–35.
Van Luit, J. E. H., & Van der Molen, M. J. (2011). The effectiveness of Korean number naming on insight into numbers in Dutch students with mild intellectual disabilities. Research in Developmental Disabilities, 32(5), 1941–1947.
Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2007). Whole number concepts and operations. In F. K. Lester (Hrsg.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (Bd. 1, S. 557–628). Charlotte: NCTM.
Winter, H. (2001). Fundamentale Ideen in der Grundschule. http://www.schulabakus.de/Wechselspiele/winter-ideen.html. Zugegriffen: 16. März 2015.
Wittmann, E. Ch. (2013). Strukturgenetische didaktische Analysen – die empirische Forschung erster Art. In G. Greefrath, F. Käpnick, & M. Stein (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2013 (S. 1094–1097). Münster: Waxmann.
Wittmann, E. Ch. (2015). Strukturgenetische didaktische Analysen – empirische Forschung „erster Art“. Erscheint in: mathematica didactica 38.
Wittmann, E. Ch., & Müller, G. (1994). Handbuch produktiver Rechenübungen (Bd. 1). Stuttgart: Klett.
Wittmann, E. Ch., & Müller, G. (2012a). Das Zahlenbuch 1. Begleitband. Stuttgart: Klett.
Wittmann, E. Ch., & Müller, G. (2012b). Das Zahlenbuch 2. Stuttgart: Klett.
Wittmann, E. Ch., & Müller, G. (2012c). Das Zahlenbuch 2. Begleitband. Stuttgart: Klett.
Yang, M. T. -L., & Cobb, P. (1995). A cross-cultural investigation into the development of place-value concepts of children in Taiwan and the United States. Educational Studies in Mathematics, 28, 1–33.
Zuber, J., Pixner, S., Moeller, K., & Nuerk, H. -C. (2009). On the language specificity of basic number processing: Transcoding in a language with inversion and its relation to working memory capacity. Journal of Experimental Child Psychology, 102(1), 60–77.
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Gaidoschik, M. Einige Fragen zur Didaktik der Erarbeitung des „Hunderterraums“. J Math Didakt 36, 163–190 (2015). https://doi.org/10.1007/s13138-015-0071-3
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Schlüsselwörter
- Dezimales Stellenwertsystem
- Konzeptuelles und prozedurales Verständnis
- Zahlwortbildung und Inversion
- Zahlenstrahl
- Hunderterfeld
- Hundertertafel
Keywords
- Base-ten place-value system
- Conceptual and procedural understanding
- Number names and inversion
- Number line
- 10 × 10 dot array
- Hundreds chart