Spektrale Risikomaße: Konzeption, betriebswirtschaftliche Anwendungen und Fallstricke

Zusammenfassung

Der Beitrag behandelt Probleme und Anwendungspotenziale bei der Übertragung der originär regulatorisch geprägten spektralen Risikomaße, einschließlich des Conditional Value-at-Risk als ihrem prominentesten Vertreter, in den Kontext betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme. Dabei werden zwei Grundformen von restriktiven, und ökonomisch unplausiblen, Randlösungstendenzen oder ,,Plunging“ offengelegt. Die erste Form von Randlösungen wird unmittelbar durch die regulatorische Axiomatik induziert und ist allen spektralen Risikomaßen inhärent. Sie bewirkt etwa, dass bei der optimalen Vermögensaufteilung zwischen einer risikofreien und einer riskanten Anlage niemals diversifiziert wird. Eine zweite Form von Randlösungen geht auf das spezielle Risikospektrum des Conditional Value-at-Risk zurück. Im Kontext optimaler Versicherungsentscheidungen mittels stop-loss-Kontrakt führt dieses dazu, dass die Versicherung bei Verwendung spektraler Risikomaße als Zielfunktion entweder gar nicht oder nur zum minimalen Selbstbehalt abgeschlossen wird. Ähnliche Schwächen finden sich auch in anderen Anwendungen, etwa bei der der Ermittlung optimaler Bestellmengen im Newsvendor-Modell. Wir können zeigen, dass diese zweite Form von Randlösungstendenzen bereits innerhalb der Klasse der spektralen Risikomaße, etwa durch die Anwendung der Subklasse der power spektralen Risikomaße anstelle des Conditional Value-at-Risk, behoben werden kann.

Appendices

Anhang 1: Beweis—Spektrale Risikomaße repräsentieren Arrow-Pratt-Risikoaversion

Notiert man das spektrale Risikomaß als Riemann-Stiltjes-Integral mit der Verteilungsfunktion $\Phi$ als Integrator und integriert partiell, resultiert

$$\begin{aligned} s_{\phi }(X)&= -\rho _{\phi }(X) = \int \limits _{0}^{1} F^{-1}(p) {\mathrm d} \Phi (p) = F^{-1}(1) - \int \limits _{0}^{1} \Phi (p) {\mathrm d} F^{-1}(p) \nonumber \\&\le F^{-1}(1) - \int \limits _{0}^{1} p {\mathrm d} F^{-1}(p) = E(X) \text { f}\ddot{\mathrm{u}}\text {r alle } X \in \mathcal{X} \end{aligned}$$

(67)

da $\Phi (p) \ge p \text { f}\ddot{\mathrm{u}}\text {r alle } p \in [0,1]$. $\square$

Anhang 2: Beweis von Satz 3.6

Das spektrale Risiko eines Portfolios $R(\gamma )$ ist gegeben durch

$$\begin{aligned} \rho _{\phi }(R(\gamma ))&= -(\gamma \cdot \mu _{1} + (1-\gamma ) \cdot \mu _{2}) + \rho _{\phi }(X_{0}) \cdot \sqrt{\gamma ^{2} \cdot a + 2 \cdot \gamma \cdot b + c} \nonumber \\ \text {mit } a&= Var(R_{1}) + Var(R_{2}) - 2 \cdot cov(R_{1}, R_{2}), \nonumber \\ b&= cov(R_{1}, R_{2}) - Var(R_{2}), \nonumber \\ c&= Var(R_{2}). \end{aligned}$$

(68)

Unter den gesetzten Annahmen $\sigma _{1}<\sigma _{2}$ und $corr(R_{1}, R_{2}) \in (-1,1)$ gilt $a>0, b<0$ und $c>0$. Die Bedingung erster Ordnung für das optimale $\gamma$ lautet

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm {d} \rho _{\phi }(R(\gamma ))}{\mathrm {d} \gamma }=-(\mu _{1} - \mu _{2}) + \rho _{\phi }(X_{0}) \cdot \frac{\gamma \cdot a + b}{ \sqrt{\gamma ^{2} \cdot a + 2 \cdot \gamma \cdot b + c}} \overset{!}{=} 0. \end{aligned}$$

(69)

Auflösen von (69) nach $\gamma$ ergibt den optimalen Anteil

$$\begin{aligned} \gamma ^{*}= -\frac{b}{a} - \sqrt{\left( \frac{b}{a}\right) ^{2}-\frac{b^{2}-t^{2} \cdot c}{a^{2} - t^{2} \cdot a}}, \text {mit } t=\frac{\mu _{1}-\mu _{2}}{\rho _{\phi }(X_{0})}. \end{aligned}$$

(70)

Für $\rho _{\phi }(X_{0}) \rightarrow \infty$ gilt $t \rightarrow 0$ und somit $\gamma ^{*} \rightarrow -\tfrac{b}{a}$. Für $\rho _{\phi }(X_{0}) \rightarrow \tfrac{\sqrt{c}}{b} \cdot (\mu _{1}-\mu _{2})$ gilt $b^{2}-t^{2} \cdot c \rightarrow 0$ und somit $\gamma ^{*} \rightarrow 0$. Die Ableitung des optimalen Anteils (69) nach t ist negativ (es gilt $t<0$)

$$\begin{aligned} \frac{\partial \gamma ^{*}}{\partial t}&= \frac{t \cdot a \cdot (c \cdot a - b^{2})}{\sqrt{\left( \frac{b}{a}\right) ^{2}-\frac{b^{2}-t^{2} \cdot c}{a^{2} - t^{2} \cdot a}} \cdot (a^{2} - t^{2} \cdot a)^2} \end{aligned}$$

(71)

$$\begin{aligned}&= \frac{t \cdot a \cdot (\sigma _{1}^{2} \cdot \sigma _{2}^{2} \cdot (1-(corr(R_{1},R_{2}))^{2}))}{\sqrt{\left( \frac{b}{a}\right) ^{2}-\frac{b^{2}-t^{2} \cdot c}{a^{2} - t^{2} \cdot a}} \cdot (a^{2} - t^{2} \cdot a)^2} < 0, \end{aligned}$$

(72)

sodass $\frac{\partial \gamma ^{*}}{\partial \rho _{\phi }(X_{0})}>0$ und $\gamma ^{*}$ stetig (aufgrund der Stetigkeit der Wurzelfunktion) und streng monoton wachsend in $\rho _{\phi }(X_{0})$ ist. $\square$

Anhang 3: Beweis von Satz 4.3

Die ,,verzerrte“ Verteilungsfunktion $\Phi (F(x))$ ist für den Conditional Value-at-Risk gegeben durch (vgl. (17))

$$\begin{aligned} \Phi _{\alpha }(F(x)) = {\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\alpha } \cdot F(x) &{}\quad \text { f}\ddot{\mathrm{u}}\text {r}\quad F(x) \in [0,\alpha ) \\ 1 &{}\quad \text { f}\ddot{\mathrm{u}}\text {r}\quad F(x) \in [\alpha ,1] \end{array}\right. } \end{aligned}$$

(73)

Im ersten Fall $F(x) \in [0,\alpha )$ nimmt die Bedingung erster Ordnung (57) die Form

$$\begin{aligned} \frac{1}{\alpha } \cdot F(-d^{*}) = (1+\delta ) \cdot F(-d^{*}), \text { oder } F(-d^{*})\cdot \left( \frac{1}{\alpha } - (1+ \delta ) \right) = 0 \end{aligned}$$

(74)

an und wird Null für $F(-d^{*})=0$, oder $d^{*} = - x_{\max }$, wenn $\alpha >\tfrac{1}{1+\delta }$. Im zweiten Fall $F(x) \in [\alpha ,1]$ resultiert die Bedingung erster Ordnung

$$\begin{aligned} 1 = (1+\delta ) \cdot F(-d^{*}), \text { oder } d^{*} = - F^{-1}\left( \frac{1}{1+\delta } \right) , \end{aligned}$$

(75)

wenn $\alpha \le \tfrac{1}{1+\delta }$. $\square$

Anhang 4: Beweis von Satz 4.5

Die ,,verzerrte“ Verteilungsfunktion $\Phi (F(x))$ ist für power spektrale Risikomaße gegeben durch (vgl. (20))

$$\begin{aligned} \Phi _{b}(F(x)) = F(x)^{b}, \ b \in (0,1]. \end{aligned}$$

(76)

Die Bedingung erster Ordnung (57) nimmt somit die Form

$$\begin{aligned} F(-d^{*})^{b} = (1+\delta ) \cdot F(-d^{*}) \end{aligned}$$

(77)

an, woraus unmittelbar $d^{*}=-F^{-1}\left( (1+\delta )^{\frac{1}{b-1}} \right)$ resultiert. $\square$