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Poincaré’s „vierte Geometrie“

  • Philosophische und historische Sicht
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Mathematische Semesterberichte Aims and scope Submit manuscript

Zusammenfassung

Es werden zwei Arbeiten von Poincaré zu den Grundlagen der Geometrie (1887, 1891) diskutiert, insbesondere seine Ausführungen zu den so genannten quadratischen Geometrien.

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Abb. 6

Notes

  1. Eine Fuchssche Gruppe ist eine diskrete Untergruppe der Bewegungsgruppe der hyperbolischen Ebene (welche man mit \(\mathit{PSL}(2, \mathbb{R})\) identifizieren kann).

  2. Das konforme Modell von Poincaré wird in vielen Lehrbüchern der hyperbolischen Geometrie behandelt, etwa in demjenigen von Marcel Berger [1]. Zu Poincaré’s Verwendung des Modells in der Theorie der Fuchsschen Funktionen vgl. man das Buch von Jeremy J. Gray [4].

  3. Vgl. hierzu [7, 17] oder [16].

  4. Poincaré [10].

  5. In der ursprünglichen Fassung von 1891 spricht Poincaré nicht von nicht-archimedischen Geometrien. Diese treten erst in der überarbeiteten Fassung des Textes auf, welche dem dritten Kapitel von „Wissenschaft und Hypothese“ zu Grunde liegt.

  6. Poincaré [9].

  7. Gemeint ist der seitens der Philosophie vorgebrachte Einwand, dass die nichteuklidischen Geometrien nicht auf räumliche Fragen anwendbar seien, weil sie rein logischer Natur seien.

  8. Poincaré [11, 68].

  9. Poincaré [12, 72].

  10. Solche Geraden werden isotrop genannt.

  11. Vgl. Nabonnand [7].

  12. Poincaré [10, 772–773], [12, 72–73]. Die genannten Annahmen sind analog jenen, welche [9] ausgewählt hatte, um die quadratischen Geometrien zu charakterisieren (vgl. [9, 213–214]).

  13. Poincaré [12, 73].

  14. Poincaré [9, 205].

  15. Ein diametraler Schnitt ist ein ebener Schnitt, der durch den Mittelpunkt der Quadrik geht. Dabei wird der Mittelpunkt von Paraboloiden festgelegt als der Fernpunkt ihrer Achse.

  16. Poincaré [9, 205].

  17. Auf jeder Quadrik gibt es zwei Systeme von geradlinigen Erzeugenden, die reell oder imaginär sein können.

  18. Man beachte, dass Poincaré das hyperbolische Paraboloid nicht erwähnt.

  19. Vgl. beispielsweise die Note [5], die Edmond Laguerre in den „Nouvelles annales de mathématiques“ veröffentlicht hat oder die Besprechung der Arbeiten von Laguerre durch Eugène Rouché [14].

  20. Poincaré [9, 205].

  21. In dem den Grundlagen der Geometrie gewidmeten Artikel [11] verwendet dieser die Liesche Klassifikation der zwölf Transformationsgruppen des \(\mathbb{R}^{3}\), welche eine quadratische Invariante zulassen. Um unter diesen die Euklidische Geometrie und die nichteuklidischen Geometrien auszuzeichnen, benutzt Poincaré die Eigenschaft, eine Drehuntergruppe der Ordnung 3 zu besitzen.

  22. Sowohl die Minkowski- als auch die De Sitter-Geometrie besitzen beide eine Lorentz-Metrik, die erstere aber hat verschwindende Krümmung, während die Krümmung der De Sitter-Geometrie +1 oder −1 beträgt. Mehr Informationen zur De Sitter-Geometrie findet man in dem Artikel „A Geometrical Background for De Sitter World“ von H.S.M. Coxeter [3].

  23. Sternberg [15, 68]. Der Autor dankt Scott Walter (Nancy) für seinen Hinweis auf diese Quelle.

  24. Comberousse-Rouché [2]. Poincaré hat im Jahre 1900 für die siebte Auflage dieses klassischen Lehrbuchs eine Note über die nichteuklidischen Geometrien geschrieben.

  25. Das „Lehrbuch der Elementargeometrie“ („Traité de géométrie élémentaire“) von Eugène Rouché und Charles de Comberousse behandelt umfassend Fragen der ebenen und räumlichen (reinen) Geometrie. Es wandte sich in erster Linie an Kandidaten, die sich für die Aufnahmeprüfung einer „Grande Ecole“ (etwa der „Ecole Polytechnique“) vorbereiteten. Die erste Auflage erschien 1860; die zahlreichen weiteren Auflagen waren mit Änderungen und Ergänzungen verbunden.

  26. Es handelt sich dabei wohlgemerkt um die Geometrie der Minkowski-Ebene.

  27. Poincaré [9, 203].

  28. Poincaré hat 1883 die „Werke“ von Riemann bestellt und erhalten (vgl. http://www.univ-nancy2.fr/poincare/chp/image/mayer_muller1b.jpg).

  29. Etwas später, 1905, und in einem völlig anderen Zusammenhang (Anfänge der Relativitätstheorie) hat Poincaré die Lorentz-Gruppe untersucht und dabei die quadratische Form x 2+y 2+z 2−t 2 als invariant unter den „Substitutionen dieser Gruppe“ erkannt Poincaré [13, 168].

  30. In seinem Artikel von 1887 betont Poincaré, dass die Euklidische Geometrie ein „Grenzfall“ sei, das heißt, dass man diese als Ausartungsfall der hyperbolischen Geometrie erhalten kann. Man könnte also annehmen, dass Poincaré – wäre dies sein Thema gewesen – hätte erkennen können, dass die Geometrie auf dem hyperbolischen Paraboloid zu derjenigen auf dem einschaligen Hyperboloid in einer analogen Beziehung steht wie die Geometrie auf dem elliptischen Paraboloid zu derjenigen des zweischaligen Hyperboloids.

  31. Der Autor dankt Caroline Ehrhardt, Philippe Henry und Laurent Rollet für ihr aufmerksames und kritisches Studium einer ersten Version dieses Textes, das es ermöglichte, diese zu verbessern. Weiterhin dankt er seinem Übersetzer für dessen Arbeit.

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Authors and Affiliations

  1. Laboratoire d’Histoire des Sciences et de Philosophie, Archives Poincaré (UMR 7117 du CNRS) & MSH de Lorraine, Université de Lorraine, Nancy, Frankreich

    Philippe Nabonnand

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  1. Philippe Nabonnand
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Correspondence to Philippe Nabonnand.

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Übersetzung von K. Volkert (Bergische Universität Wuppertal, Fachbereich C, AG Didaktik und Geschichte der Mathematik). Das französische Original dieses Artikels ist in der „Gazette des mathématiques“ No. 134 (2012), 76–86 erschienen. Verlag und Herausgeber danken der Société Mathématique de France für die freundliche Überlassung der Übersetzungsrechte.

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Nabonnand, P. Poincaré’s „vierte Geometrie“. Math Semesterber 61, 79–91 (2014). https://doi.org/10.1007/s00591-013-0120-2

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