1 Einleitung

Aktive Magnetlager bieten gegenüber herkömmlichen Lagern eine Reihe von Vorteilen, etwa Festkörperreibungs- und Verschleißfreiheit, hohe Präzision sowie Beeinflussbarkeit von Solllage und Lagerdynamik während des Betriebs [1]. Lagerlose Motoren vereinen dabei Motor und Magnetlager zu einer kompakten Einheit [2].

Konventionelle reluktante Rotations-Linear-Motoren bestehen aus einem rotierenden Motor und einem Linear-Motor, welche mechanisch miteinander verbunden sind und besitzen mechanische Lager für den Rotor. In [3] wird ein rotierender Motor um zwei weitere Statoren ergänzt, die axiale Hübe ermöglichen. Da der mittlere Teil des Rotors den zugehörigen Rotations-Stator nicht verlassen darf, ist der Verfahrweg auf kleine Werte begrenzt. Der Rotations-Linear-Motor in [4] besteht aus einem Rotations-Stator und einem dreiteiligen Linear-Stator. Der Rotor ist zweidimensional verzahnt, indem sowohl durchgängige Längsnuten als auch durchgängige Quernuten eingebracht sind. Dadurch ist der axiale Verfahrweg nur durch die Rotorlänge begrenzt. Beide genannten Motorkonzepte benötigen mechanische Lagerungen und sind verhältnismäßig aufwändig zu fertigen.

Der in diesem Beitrag betrachtete neuartige lagerlose reluktante Rotations-Linearmotor benötigt keine mechanischen Lager und besteht aus zwei gleichartigen Statoren. Daher ist dieser Antrieb sehr kompakt, robust sowie einfach zu fertigen und ermöglicht vielfältige Einsatzgebiete. Besonders geeignet ist der Motor für komplexe Bewegungsabläufe sowie für Positionier- und Transportanwendungen im Vakuum oder in Reinräumen. Für die Vorschubkraft und das Drehmoment wird jedoch eine zweidimensionale Verzahnung in Stator und Rotor benötigt. Schwerpunkt der Betrachtungen in diesem Beitrag ist die Entwicklung von zweidimensionalen Verzahnungen mit gleicher Nutteilung in Stator und Rotor sowie die Untersuchung der Steuerbarkeit und der erreichbaren Kraftdichten. Aufgrund der magnetischen Lagerung des Rotors spielt dabei im Gegensatz zu konventionellen Rotations-Linear-Motoren auch die radiale Kraftdichte eine Rolle.

2 Grundaufbau lagerloser reluktanter Rotations-Linear-Motor

Der in diesem Beitrag betrachtete lagerlose Rotations-Linear-Motor besteht aus zwei gleichartigen Statoren mit jeweils sechs Polspulenwicklungen, siehe Abb. 1. Die zweidimensionale Verzahnung besitzt in Stator und Rotor die gleichen Nutteilungen \(\tau_{x}\) und \(\tau_{\varphi}\), welche wiederum beide in etwa gleich groß sind, siehe Abb. 2. Jeweils zwei gegenüberliegende Pole eines Statorteils (z. B. 1 und 4 in Abb. 1) sind gleichartig verzahnt, wodurch eine Trennbarkeit von radialer Kraft und Vorschubkraft erreicht werden kann. Die Verzahnungen der verschiedenen Polpaare wiederum weisen unterschiedlichen Versatz zur Rotorverzahnung auf.

Abb. 1.
figure 1

CAD-Modell des lagerlosen reluktanten Rotations-Linear-Motors

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Abb. 2.
figure 2

Stator mit sechs schachbrettverzahnten Polen während der Fertigung

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3 Grundtypen der Verzahnungen

Im Folgenden werden die Verzahnungen der gekrümmten Poloberflächen als Muster in der zweidimensionalen \(x\varphi\)-Ebene (vgl. Abb. 1) betrachtet, die durch die Einheitsvektoren \(\mathbf{e}_{x}\) und \(\mathbf{e}_{\varphi}\) aufgespannt wird. Die gefundenen Verzahnungen, welche für lagerlose reluktante Rotations-Linear-Motoren geeignet sind, lassen sich in zwei Grundtypen einteilen. Dargestellt sind in den folgenden Abbildungen von links nach rechts die Verzahnung eines Pols des Stators, die Verzahnung des Rotors sowie die Überdeckung beider Verzahnungen. Letztere veranschaulicht die Relativposition von Stator- und Rotorzähnen für zwei verschiedene Rotorpositionen \(x\).

  1. 1.

    Schachbrettverzahnung

    Gemäß Abb. 3 sind der Rotor und alle Pole des Stators mit Zähnen und Nuten rechteckiger Oberfläche versehen. Diese wechseln sich wie bei einem Schachbrett in beiden Koordinatenrichtungen ab. Für die Kraftwirkung entscheidend ist die Änderungsrate des magnetischen Widerstands bei Verschiebung des Rotors in radiale Richtung oder in \(x\)- bzw. \(\varphi \)-Richtung. Diese wiederum hängt maßgeblich von der Überdeckungsfläche der Zähne von Rotor und Stator sowie deren Änderungsrate bei Verschiebung ab. Bei der Schachbrettverzahnung sind daher beide Vorschubkräfte (axiale Kraft \(F_{x}\) und Umfangskraft \(F_{\varphi}\)) im Allgemeinen miteinander verkoppelt, da sich die Überdeckungsfläche eines Pols mit dem Rotor sowohl bei Verschiebung in \(x\)- als auch in \(\varphi\)-Richtung verändert (vgl. Überdeckung in Abb. 3):

    Abb. 3.
    figure 3

    Schachbrettverzahnung

    Full size image
  2. 2.

    Kreuzverzahnung

    Drei Polpaare des Stators sind längsverzahnt, die anderen drei sind querverzahnt. Der Rotor ist durchgängig kreuzartig verzahnt. Im Gegensatz zur Schachbrettverzahnung gibt es dadurch eine Entkopplung der Kräfte. So ändert sich die Überdeckungsfläche in Abb. 4 oben rechts nur bei Verschiebung in \(x\)-Richtung, während sich die Überdeckungsfläche der anderen drei Polpaare (Abb. 4 rechts unten) nur bei Verschiebung in \(\varphi\)-Richtung ändert. Somit würden bei einem Motor mit sechs Polpaaren drei Polpaare nur eine axiale Vorschubkraft erzeugen, die nur von der Verschiebung \(x\) abhängt, während die anderen drei nur eine Umfangskraft erzeugen, welche nur vom Winkel \(\phi\) abhängt. Von der Kreuzverzahnung sind Untervarianten mit gleicher Statorverzahnung, jedoch anderer Rotorverzahnung denkbar. Beispiele wären eine treppenförmige Verzahnung oder eine invertierte Kreuzverzahnung, bei der Zähne und Nuten vertauscht sind, wie diese etwa in [4] eingesetzt wird. Letztere besitzt jedoch aufgrund der deutlich geringeren mittleren Überdeckungsfläche nur niedrige mittlere radiale Kräfte und ist somit für den lagerlosen Motor ungeeignet.

    Abb. 4.
    figure 4

    Kreuzverzahnung

    Full size image

In den folgenden Betrachtungen wird zunächst für beide Verzahnungsarten die optimale Geometrie eines verzahnten Pols bestimmt. Anschließend werden die optimalen Versetzungen der Verzahnungen ermittelt und die Steuerbarkeit eines Motors mit der jeweiligen Verzahnungsart überprüft. Abschließend werden die erreichbaren Kräfte von je einem vollständigen Motor mit Schachbrett- und Kreuzverzahnung miteinander verglichen.

4 Ermittlung der Kräfte eines Pols für beide Verzahnungstypen

4.1 Numerische Berechnung der Kräfte mittels FEM

Zur Bestimmung der Kräfte eines schachbrettverzahnten oder kreuzverzahnten Pols auf den Rotor wurde die Laplace-Gleichung für das magnetische Potential \(P\) mittels FEM gelöst. Daraus erfolgte die Ermittlung des magnetischen Felds \(\mathbf{H} \), der Flussdichte \(\mathbf{B} \) und schließlich über die Änderung der magnetischen Energie \(W_{\mathit{mag}}\) die magnetische Kraft \(\mathbf{F}\):

$$ \nabla^{2} P=0,\qquad \mathbf{H} =- \nabla P,\qquad \mathbf{B} =\mu \mathbf{H},\qquad \mathbf{F}=- \nabla W_{\mathit{mag}} $$
(1)

Darin ist \(\mu\) die Permeabilität, welche für Rotor und Stator als ideal (\(\mu\rightarrow\infty \)) angesetzt ist. Es erfolgt für beide Verzahnungen jeweils nur die Berechnung der kleinsten periodische Zelle, siehe Abb. 5. Die Nutteilung ist für beide Richtungen gleich: \(\tau_{x} = \tau_{\varphi} =\tau\).

Abb. 5.
figure 5

FEM-Modelle, links Schachbrettverzahnung, rechts Kreuzverzahnung

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Die Mantelflächen der Verzahnungsmodelle besitzen periodische Randbedingungen, während Boden- und Deckfläche jeweils mit einem konstanten Potential \(+ P_{0}\) bzw. \(- P_{0}\) versehen sind. Durch die Berechnung einer solchen Zelle anstatt eines konkreten Motorausschnitts werden die Ergebnisse unabhängig von anderen Parametern wie Rückenhöhe, Statordurchmesser, etc. und somit besser vergleichbar und übertragbar. Ebenso wird die Rechenzeit erheblich reduziert. Mitunter werden für Reluktanzmotoren unverzahnte Pole genutzt. In diesem Fall können der Pol als mit nur einem Zahn verzahnt und die o.g. FEM-Modelle als Näherung betrachtet werden.

Die Beträge der berechneten Kräfte sind aufgrund der Linearität des Problems skalierbar über folgende Relationen:

$$ F\sim \tau^{2} B^{2} \sim \tau^{2} ( P_{0} /\delta )^{2} $$
(2)

Darüber hinaus behält die Kraft ihre Richtung, wenn alle Abmessungen gleich skaliert werden, d. h. das Verhältnis \(\tau/\delta\) von Nutteilung zu Luftspaltlänge konstant bleibt. Daher wurde die Rechnung für nur eine feste Luftspaltlänge von \(\delta=1\ \mathrm{mm}\) durchgeführt. Das Potential \(P_{0}\) wurde ebenfalls für beide Verzahnungen fest eingestellt und beträgt \(P_{0} =400\ \mathrm{A}\), was zu einer mittleren Induktion von \(B_{\mathit{avg}} \approx1\ \mathrm{T}\) im Luftspalt zwischen zwei gegenüberliegenden Zähnen führt. Im Interesse möglichst großer Vorschubkräfte wurde zunächst die Nutteilung \(\tau \) des Modells variiert, um maximale Tangentialkraftdichte \(\sigma_{x} = F_{x} / \tau^{2}\) zu erreichen. Dabei erfolgte für jede Nutteilung \(\tau\) eine Variation der Verschiebung \(x\) der Verzahnungen und eine Ermittlung des globalen Maximums von \(\sigma_{x}\). In Abb. 6 bzw. Abb. 7 ist der Verlauf von Tangential- bzw. Radialkraftdichte exemplarisch für das Verhältnis \(\tau/\delta=13\) dargestellt. Der Verlauf des Tangentialkraftmaximums ist für beide Verzahnungen in Abb. 8 dargestellt und besitzt wiederum für je ein bestimmtes Verhältnis \(\tau/\delta\) ein globales Maximum. Für alle folgenden Betrachtungen wird von diesem optimalen geometrischen Verhältnis ausgegangen. Die sich einstellende Feldverteilung \(\mathbf{B} \) ist in Abb. 9 jeweils als achsparalleler Schnitt durch die Mitte der Zähne (Schnittebenen-Normalform: Schachbrett: \(\mathbf{r} \cdot \mathbf{e}_{\varphi} =1/4\tau\), Kreuzverzahnung: \(\mathbf{r} \cdot \mathbf{e}_{\varphi} =3/4\tau\), vgl. Abb. 5) dargestellt. Dabei sind oberer und unterer Modellteil um \(x=\tau/4\) und \(\varphi=0\) zueinander verschoben.

Abb. 6.
figure 6

Tangentialkraftdichte in Abhängigkeit der Verzahnungsverschiebung für \(\frac{\tau}{\delta} =13\)

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Abb. 7.
figure 7

Radialkraftdichte in Abhängigkeit der Verzahnungsverschiebung für \(\frac{\tau}{\delta} =13\)

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Abb. 8.
figure 8

Maximale Tangentialkraftdichte in Abhängigkeit der Geometrie

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Abb. 9.
figure 9

Flussdichteverteilungen im Schnitt, links: Schachbrettverzahnung, rechts: Kreuzverzahnung

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4.2 Vergleich der erreichbaren Kräfte für beide Verzahnungstypen

Zum Vergleich beider Verzahnungen wurden bei optimalem Verhältnis \(\tau/\delta\) jeweils die Kräfte beider Verzahnungsmodelle ermittelt. Die Ergebnisse der FEM-Berechnungen für beide Verzahnungstypen werden in Tab. 1 hinsichtlich ihrer erreichbaren Tangential- und Radialkraftdichten verglichen. Die erreichbare Tangentialkraftdichte ist bei Schachbrettverzahnung deutlich größer als bei Kreuzverzahnung, die mittlere Radialkraftdichte ist jedoch nur geringfügig kleiner als bei Kreuzverzahnung:

$$ \frac{\sigma_{x,\max,\mathit{Kreuz}}}{\sigma_{x,\max,\mathit{Schach}}} =0{,}63,\qquad \frac{\sigma_{r,\mathit{avg},\mathit{Kreuz}}}{\sigma_{r,\mathit{avg},\mathit{Schach}}} =1,10 $$
(3)

Insgesamt ist anzumerken, dass diese Ergebnisse den Idealfall darstellen, da das Materialverhalten idealisiert wurde. Zudem ist die Induktionsverteilung in den Zähnen von der Verzahnungsart und den Verschiebungen \(x\) bzw. \(\varphi\) abhängig. Der Unterschied der mittleren Zahninduktion ist zwischen beiden Verzahnungsarten jedoch nur gering, was u.a. in der Schnittebene in Abb. 9 ersichtlich ist. Daher ist die Vergleichbarkeit der Verzahnungsarten mittels der Modelle gewährleistet. Wäre die Induktionsverteilung sehr unterschiedlich, gäbe es aufgrund von Sättigungseffekten in der Praxis größere Abweichungen von den Verhältnissen aus (3).

Tab. 1. FEM-Ergebnisse der erreichbaren Kräfte
Full size table

4.3 Abhängigkeiten der tangentialen Kräfte eines Polpaars von der Rotorverschiebung

Die axiale Vorschubkraft bzw. das Drehmoment eines Pols des Motors kann mittels der Kraftdichte \(\sigma\) aus dem vorherigen Abschnitt berechnet werden. Wegen Relation (2) hängt diese Kraft vom magnetischen Fluss \(\phi\) durch den Pol ab:

$$ F_{x,\mathit{Pol}} = \sigma_{x} A \sim B^{2} A\sim \frac{\phi^{2}}{A} $$
(4)

Darin ist \(A\) die Fläche des Pols. Die Kraft des \(j\)-ten Polpaars ergibt sich aus der Summe der Kräfte beider gegenüberliegender Pole:

$$ F_{x,j} \sim \frac{\varPhi_{j}}{A_{j}} $$
(5)

Darin ist \(\varPhi_{j}\) die Summe der Quadrate der beiden Flüsse durch die Pole und ein Element des Flussquadratevektors \(\boldsymbol{\Phi}\), der wie folgt definiert ist:

$$ \boldsymbol{\Phi} = \left ( \textstyle\begin{array}{c} \varPhi_{1}\\ \vdots\\ \varPhi_{6} \end{array}\displaystyle \right ):= \left ( \textstyle\begin{array}{c} \phi_{1A}^{2} + \phi_{4A}^{2}\\ \phi_{2A}^{2} + \phi_{5A}^{2}\\ \phi_{3A}^{2} + \phi_{6A}^{2}\\ \phi_{1B}^{2} + \phi_{4B}^{2}\\ \phi_{2B}^{2} + \phi_{5B}^{2}\\ \phi_{3B}^{2} + \phi_{6B}^{2} \end{array}\displaystyle \right ) $$
(6)

Die Indizes A und B bezeichnen den vorderen bzw. hinteren Statorteil mit jeweils sechs Polen, vgl. Abb. 1. So ist beispielsweise \(\varPhi_{3} = \phi_{3A}^{2} + \phi_{6A}^{2}\) verantwortlich für die Kraft des Polpaars 3 bestehend aus Pol 3 und Pol 6 des vorderen Statorteils und setzt sich aus den Flüssen \(\phi_{3A}\) sowie \(\phi_{6A}\) durch diese beiden Pole zusammen.

Bei der Kreuzverzahnung hängt die Tangentialkraftdichte nur von der ihr zugehörigen Rotor-Verschiebungskoordinate \(x\) bzw. \(\varphi\) ab. Somit können die Kräfte des Pols wie folgt in ein Fourierpolynom 1. Grades entwickelt werden:

$$ \begin{aligned} F_{x,\mathit{Kreuz},j} ( \tilde{x} ) &\approx -C_{\mathit{Kreuz}} \sin ( \tilde{x} + \Delta \tilde{x}_{j} ) \cdot\varPhi_{j}\\ F_{\varphi,\mathit{Kreuz},j} ( \tilde{\varphi} ) &\approx -C_{\mathit{Kreuz}} \sin ( \tilde{\varphi} + \Delta \tilde{\varphi}_{j} ) \cdot\varPhi_{j} \end{aligned} $$
(7)

Darin sind \(\tilde{x}\) und \(\tilde{\varphi}\) zur Vereinfachung der Schreibweise normierte Koordinaten:

$$ \tilde{x}:= \frac{2\pi}{\tau_{x}} x,\qquad \tilde{\varphi}:= \frac{2\pi}{ \tau_{\varphi}} \varphi $$
(8)

\(\Delta \tilde{x}_{j}\) und \(\Delta \tilde{\varphi}_{j}\) sind die relativen Versetzungen der Verzahnung des \(j\)-ten Polpaars gegenüber einem anderen festgelegten Bezugspolpaar, vgl. Abb. 10 und 11.

Abb. 10.
figure 10

Schnitte durch optimal schachbrettverzahnten Motor

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Abb. 11.
figure 11

Schnitte durch optimal kreuzverzahnten Motor

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Die entsprechende Fourier-Näherung für das \(j\)-te Polpaar mit Schachbrettverzahnung lautet:

$$ \begin{aligned} F_{x,\mathit{Schach},j} ( \tilde{x}, \tilde{\varphi} )& \approx -C_{\mathit{Schach}} \sin ( \tilde{x} + \Delta \tilde{x}_{j} ) \cdot \cos ( \tilde{\varphi} + \Delta \tilde{\varphi}_{j} ) \cdot\varPhi_{j}\\ F_{\varphi,\mathit{Schach},j} ( \tilde{x}, \tilde{\varphi} ) &\approx -C_{\mathit{Schach}} \cos ( \tilde{x} + \Delta \tilde{x}_{j} ) \cdot \sin ( \tilde{\varphi} + \Delta \tilde{\varphi}_{j} ) \cdot\varPhi_{j} \end{aligned} $$
(9)

In Abb. 12 ist exemplarisch der Verlauf der mittels FEM berechneten axialen Kraft \(F_{x}\) eines Polpaars in Abhängigkeit der Verschiebung \(\tilde{x}\) für Kreuzverzahnung dargestellt, sowie die analytische Näherung nach Gl. (7) mit minimalem quadratischen Fehler durch optimale Wahl von \(C_{\mathit{Kreuz}}\). Abb. 13 zeigt die Kraft \(F_{x}\) in Abhängigkeit der Verschiebungen \(\tilde{x}\) und \(\tilde{\varphi}\) für die Schachbrettverzahnung sowie die Näherung nach Gl. (9) mit optimaler Wahl von \(C_{\mathit{Schach}}\). Nach (5) ist die Fläche \(A\) der der Pole entscheidend für den Absolutwert der Kräfte. Da \(A\) jedoch für beide Verzahnungen gleich sein soll, sind beide Kraftverläufe auf die maximale Kraft des schachverzahnten Polpaars normiert. In Übereinstimmung mit (3) gilt dabei für die Fourierkoeffizienten:

$$ C_{\mathit{Kreuz}} \approx 0{,}63 C_{\mathit{Schach}} $$
(10)

Zwar sind in beiden Diagrammen Abweichungen der FEM-Ergebnisse von der Sinusform erkennbar, jedoch würden in der Praxis die Zahnsättigung und der Einfluss der Kantenbearbeitung des Materials den tatsächlichen Oberwellengehalt reduzieren. Fortan werden die Sinus-Näherungen verwendet, um zu vermeiden, dass bei der in den nächsten Abschnitten beschriebenen Optimierung unerwünschte lokale Nebenoptima durch die Oberwellen entstehen. Zudem wird dadurch die Rechenzeit deutlich reduziert. Mit Hilfe der Tangentialkraftverläufe \(F_{x,j}\) und \(F_{\varphi,j}\) eines Polpaars nach (7) bzw. (9) lassen sich die resultierenden Vorschubkräfte \(\mathbf{f}\) des gesamten Motors mit sechs Polpaaren berechnen:

$$ \mathbf{f}: = \left ( \textstyle\begin{array}{c} F_{x}\\ F_{\varphi} \end{array}\displaystyle \right ) = \sum _{j=1}^{6} \left ( \textstyle\begin{array}{c} F_{x,j}\\ F_{\varphi,j} \end{array}\displaystyle \right ) = \left ( \textstyle\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}c} G_{11} & \cdots & G_{16}\\ G_{21} & \cdots & G_{26} \end{array}\displaystyle \right ) \left ( \textstyle\begin{array}{c} \varPhi_{1}\\ \vdots\\ \varPhi_{6} \end{array}\displaystyle \right ) =\mathbf{G} \boldsymbol{ \Phi} $$
(11)

Die Matrix \(\mathbf{G}\) beinhaltet die entsprechenden Sinusterme aus (7) bzw. (9), sodass diese von der tangentialen Verschiebung des Rotors \(\mathbf{r}\) sowie den individuellen Versetzungen \(\mathbf{p}\) der Verzahnungen der Polpaare zur Rotorverzahnung (vgl. Abb. 10 und 11) abhängt:

$$ \mathbf{G}=\mathbf{G} ( \mathbf{r},\mathbf{p} ),\quad \mbox{mit } \mathbf{r} := \left ( \textstyle\begin{array}{c} \tilde{x}\\ \tilde{\varphi} \end{array}\displaystyle \right ),\ \mathbf{p} := \left ( \textstyle\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}c} \Delta \tilde{x}_{1} & \cdots & \Delta \tilde{x}_{6}\\ \Delta \tilde{\varphi}_{1} & \cdots & \Delta \tilde{\varphi}_{6} \end{array}\displaystyle \right ) $$
(12)

Für Kreuz- bzw. Schachbrettverzahnung lautet \(\mathbf{G}\) wie folgt:

$$ \mathbf{G}_{\mathit{Kreuz}} ( \mathbf{r},\mathbf{p} ) =- C_{\mathit{kreuz}} \left ( \textstyle\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}c} \sin (x+ \Delta \tilde{x}_{1} ) & \cdots & \sin (x+ \Delta \tilde{x}_{6})\\ \sin ( \tilde{x} + \Delta \tilde{x}_{1} ) & \cdots & \sin ( \tilde{x} + \Delta \tilde{x}_{6} ) \end{array}\displaystyle \right ) $$
(13)
$$\begin{aligned} \mathbf{G}_{\mathit{Schach}} ( \mathbf{r},\mathbf{p} ) =- C_{\mathit{schach}}& \left( \textstyle\begin{array}{c} \sin (x+ \Delta \tilde{x}_{1} ) \cos ( \tilde{\varphi} + \Delta \tilde{\varphi}_{1} ) \\ \cos ( \tilde{x} + \Delta \tilde{x}_{1} ) \sin ( \tilde{\varphi} + \Delta \tilde{\varphi}_{1} ) \end{array}\displaystyle \right. \\ &\quad \left. \textstyle\begin{array}{c@{\quad }c} \cdots & \sin (x+ \Delta \tilde{x}_{6} ) \cos ( \tilde{\varphi} + \Delta \tilde{\varphi}_{6} )\\ \cdots & \cos ( \tilde{x} + \Delta \tilde{x}_{6} ) \sin ( \tilde{\varphi} + \Delta \tilde{\varphi}_{6}) \end{array}\displaystyle \right) \end{aligned}$$
(14)

Um Steuerbarkeit des Motors zu gewährleisten, müssen alle Verzahnungsversetzungen in \(\mathbf{p}\) so gewählt werden, dass mit dem Motor in jeder beliebigen Position \(\mathbf{r}\) des Rotors Vorschubkräfte \(\mathbf{f}\) mit beliebiger Richtung erzeugt werden können.

Abb. 12.
figure 12

Tangentialkraftverlauf bei optimaler Kreuzverzahnung

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Abb. 13.
figure 13

Tangentialkraftverlauf bei optimaler Schachbrettverzahnung

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5 Optimierung der Verzahnungsversetzungen

5.1 Zielfunktion

Die Steuerbarkeit des Motors, welche im vorherigen Abschnitt erläutert wurde, bedeutet dass das Gleichungssystem (11) stets nach \(\boldsymbol{\Phi}\) auflösbar ist:

$$ \exists \boldsymbol{\Phi} ( \mathbf{f},\mathbf{r}, \mathbf{p} )\quad \mbox{mit } \mathbf{f} = \mathbf{G} ( \mathbf{r}, \mathbf{p} ) \cdot \boldsymbol{\Phi}\ \forall \mathbf{r},\mathbf{f} $$
(15)

Dies impliziert erstens vollen Rang von \(\mathbf{G}\) und zweitens dürfen alle Einträge des Flussquadratevektors \(\boldsymbol{\Phi}\) nach dessen Definition (6) nur positive Größen sein:

$$ \varPhi_{j} \geq 0 \ \forall j $$
(16)

Die Flussquadrate korrelieren mit den Wicklungsströmen des Motors. Um die Stromwärmeverluste zu reduzieren, soll daher die Norm des Flussquadratevektors \(\boldsymbol{\Phi}\) minimiert werden:

$$ \bigl\Vert \boldsymbol{\Phi} ( \mathbf{f},\mathbf{r},\mathbf{p} ) \bigr\Vert \rightarrow \min $$
(17)

Diese Minimierung erfolgt praktisch über die Wahl der Wicklungsströme durch die Motorsteuerung und in der Berechnung über einen Optimierungsalgorithmus (quadratische Programmierung).

Für verschiedene Kräfte \(\mathbf{f}\) ergeben sich nun bei steuerbarem Motor verschiedene solcher optimalen Lösungen \(\boldsymbol{\Phi}\). Größere Kräfte können stets durch einfache Skalierung von \(\boldsymbol{\Phi}\) erreicht werden, nach (11) gilt \(\Vert \mathbf{f} \Vert \sim \Vert \boldsymbol{\Phi} \Vert \). Daher ist nur die Richtung der Kraft entscheidend, sodass nun \(\mathbf{f}\) wie folgt gewählt wird:

$$ \mathbf{f}=\mathbf{f} ( \alpha ) = \left ( \textstyle\begin{array}{c} \cos \alpha\\ \sin \alpha \end{array}\displaystyle \right ) \quad \mbox{mit } \alpha\in[0, 2\pi ) $$
(18)

Nun wird eine Zielfunktion \(z\) in Abhängigkeit der Versetzungen \(\mathbf{p}\) definiert, welche ein Maß für die Stromwärmeverluste bei optimaler Ansteuerung, jedoch für den ungünstigsten Fall aus aufzubringender Kraftrichtung \(\mathbf{f}\) und Rotorposition \(\mathbf{r}\) ist:

$$ z ( \mathbf{p} ):= \max_{\mathbf{r},\alpha} \min \bigl\Vert \boldsymbol{\Phi} \bigl( \mathbf{f}( \alpha ),\mathbf{r},\mathbf{p} \bigr) \bigr\Vert $$
(19)

Diese Zielfunktion \(z\) gilt es nun durch geeignete Wahl der Versetzungsmatrix \(\mathbf{p}\) zu minimieren. Ist \(z\) nicht existent oder divergent, so ist der Motor nicht steuerbar, d. h. eine bestimmte Kraft kann nicht erzeugt werden oder an mindestens einer Rotorposition \(\mathbf{r}\) können die gewünschten Kräfte nicht erzeugt werden.

Als Nebenbedingungen für die Optimierung von \(z\) gelten Gl. (11) und Ungl. (16). Weiterhin sollen die Kräfte eine negative Ableitung in ihre zugehörige Koordinatenrichtung aufweisen:

$$ \frac{\partial F_{x}}{\partial \tilde{x}} = \sum_{j=1}^{6} \frac{\partial G_{1j}}{\partial \tilde{x}} \varPhi_{j} < 0,\qquad \frac{\partial F_{\varphi}}{ \partial \tilde{\varphi}} = \sum _{j=1}^{6} \frac{\partial G_{2j}}{ \partial \tilde{\varphi}} \varPhi_{j} < 0 $$
(20)

Diese zusätzliche Nebenbedingung wirkt sich günstig auf die Stabilität aus, da der Rotor bei kleinen Auslenkungen aus der Ruheposition \(\mathbf{r}\) eine rücktreibende Kraft erfahren würde, was eine Lageregelung des Antriebs erleichtert. Positive Ableitungen hingegen äußern sich als „negative Steifigkeiten“ und müssten durch eine Regelung mit entsprechend größerer Reglerverstärkerung ausgeglichen werden.

Die Optimierung der Zielfunktion \(z\) ist trivial wenn Kreuzverzahnung eingesetzt wird. Durch die Trennung beider Koordinatenachsen lässt sich diese auf zwei getrennte Optimierungen zurückführen, worauf im nächsten Abschnitt eingegangen wird.

Für die Schachbrettverzahnung hingegen ist die Optimierung nichttrivial aufgrund der Verkopplungen und der Nichtlinearität der Funktionen in den Einträgen in Matrix \(\mathbf{G}\), vgl. (11) und (14). Daher ist zunächst weder bekannt, welcher Zielfunktionswert \(z\) bei Schachbrettverzahnung im Vergleich zu Kreuzverzahnung erreichbar ist, noch ob für nur sechs unabhängige Polpaare bereits eine Lösung existiert oder mehr Polpaare benötigt werden. Daher wurde für die Schachbrettverzahnung ein globaler numerischer Optimierungsalgorithmus für die Suche der optimalen Versetzungen verwendet. Minimum und Maximum aus (19) wurden dazu ebenfalls numerisch berechnet.

5.2 Ergebnisse Kreuzverzahnung

Im Falle der Kreuzverzahnung kann das Problem als Optimierung zweier unabhängiger Motoren betrachtet werden. Es müssen jene drei Polpaare, welche die axiale Vorschubkraft \(F_{x}\) erzeugen, optimal angeordnet werden sowie jene drei Polpaare, welche das Drehmoment \(M_{\varphi}\) erzeugen. Die optimalen Versetzungen müssen dazu aus Symmetriegründen je ein Drittel der Nutteilung betragen, was bereits von konventionellen dreiphasigen Reluktanzmotoren mit gleicher Nutteilung in Stator und Rotor bekannt ist. Die zugehörige optimale Versetzungsmatrix \(\mathbf{p}_{\mathit{Kreuz}}\) lautet damit:

$$ \mathbf{p}_{\mathit{Kreuz}} = \left ( \textstyle\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c} - \frac{2\pi}{3} & 0 & \frac{2\pi}{3} & \cdot & \cdot & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdot & - \frac{2\pi}{3} & 0 & \frac{2\pi}{3} \end{array}\displaystyle \right ) $$
(21)

In Abb. 11 sind Schnitte durch einen Motor mit dieser Konfiguration dargestellt. Die mit ⋅ gekennzeichneten Einträge in (21) sind frei wählbar und haben keinen Einfluss auf das Ergebnis. Zudem können die Spalten der Versetzungsmatrix ohne Beschränkung der Allgemeinheit paarweise vertauscht werden, was einer Vertauschung der Verzahnungen zweier Polpaare entspricht. Ebenso könnte ein beliebiger Wert zu allen Elementen einer Zeile addiert werden, da dies den gleichen Effekt hätte, wie eine Verschiebung des kompletten Rotors. Dies sind zwei Möglichkeiten die Fertigung der Verzahnung des Motors anzupassen, ohne dessen Steuerbarkeit oder Ausnutzung zu beeinträchtigen. Der zu \(\mathbf{p}_{\mathit{Kreuz}}\) gehörige minimale Zielfunktionswert lautet:

$$ z_{\mathit{Kreuz}} = \frac{\sqrt{2}}{C_{\mathit{kreuz}}} $$
(22)

5.3 Ergebnisse Schachbrettverzahnung

Der Optimierungsalgorithmus liefert für die Schachbrettverzahnung folgende Versetzungen:

$$ \mathbf{p}_{\mathit{Schach}} = \left ( \textstyle\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c} 0 & 0 & 0 & \frac{2\pi}{4} & \frac{2\pi}{4} & \frac{2\pi}{4}\\ - \frac{2\pi}{3} & 0 & \frac{2\pi}{3} & - \frac{2\pi}{3} & 0 & \frac{2\pi}{3} \end{array}\displaystyle \right ) $$
(23)

Diese Konfiguration entspricht einem Aufbau aus zwei gleichartigen Statoren, bei denen die Schachbrettverzahnungen der Pole je ein Drittel der Nutteilung zueinander versetzt (verdreht) sind, siehe Abb. 10. Axial gesehen besitzt die Schachbrettverzahnung des hinteren Stators (B) gegenüber der des vorderen Stators (A) einen Versatz von einer viertel Nutteilung.

Auch hier können alle Elemente einer Zeile von \(\mathbf{p}_{\mathit{Schach}}\) um einen beliebigen Wert verschoben werden und/oder die Reihenfolge der Spalten verändert werden. Zusätzlich kann jedoch auch zu einer einzelnen Spalte ein ganzzahliges Vielfaches von \(\pi\) addiert werden. Dies ergibt sich unmittelbar bei Betrachtung des Schachbrettmusters in Abb. 3 und entspricht einer Versetzung der Verzahnung um je eine halbe Nutteilung horizontal und vertikal. Der minimale Zielfunktionswert lautet:

$$ z_{\mathit{Schach}} = \frac{\sqrt{2}}{C_{\mathit{Schach}}} $$
(24)

Aufgrund des endlichen Wertes von \(z_{\mathit{Schach}}\) ist auch der schachbrettverzahnte Motor steuerbar. Ein experimenteller Funktionsnachweis eines solchen Motors mittels Versuchsaufbau (siehe u.a. Abb. 2) wurde bereits erfolgreich auf der Tagung [5] erbracht. In späteren Veröffentlichungen soll auf die messtechnische Untersuchung der Verzahnung im Detail eingegangen werden.

6 Vergleich der erreichbaren Kräfte eines vollständigen Motors

Die Zielfunktionswerte sind ein Maß für die maximal zu erwartenden Stromwärmeverluste bzw. die auftretenden Flüsse durch die Pole des Motors bei Aufbringen einer Kraft des Betrags 1 mit beliebiger Richtung. Daher sind deren Kehrwerte \(z^{-1}\) ein Maß für die verfügbaren Vorschubkräfte bei einer bestimmten maximalen thermischen Belastung des Motors. Ein Vergleich der jeweils minimalen Zielfunktionswerte beider Verzahnungsarten liefert:

$$ \frac{z_{\mathit{Kreuz}}^{-1}}{z_{\mathit{Schach}}^{-1}} = \frac{C_{\mathit{Kreuz}}}{C_{\mathit{Schach}}} \approx0{,}63 $$
(25)

Somit liegen die erreichbaren Vorschubkräfte eines kreuzverzahnten Motors nur bei etwa 63 % derer eines schachbrettartig verzahnten Motors unter sonst gleichen Bedingungen.

Die erreichbaren Radialkraftdichten hingegen sind bei Kreuzverzahnung nur ca. 10 % höher als bei Schachbrettverzahnung, vgl. Tab. 1. Da für einen Vergleich die Polflächen beider Motoren gleichgroß sein sollen, sind die erreichbaren Radialkräfte des kreuzverzahnten Motors ebenfalls nur ca. 10 % höher als die des schachbrettverzahnten Motors.

7 Fazit und Ausblick

Der neuartige lagerlose reluktante Rotations-Linear-Motor ermöglicht gegenüber konventionellen Antrieben eine große Vielfalt von Bewegungen und bietet dabei die Vorteile eines magnetisch gelagerten sowie kompakten und robusten Antriebs. Für dessen Realisierung wurden zweidimensionale Verzahnungen mit gleicher Nutteilung in Stator und Rotor entwickelt, die sich in Schachbrettverzahnung und Kreuzverzahnung einteilen lassen. Mittels FEM-gestützten Berechnungen wurden beide Verzahnungen mit quaderförmigen Zähnen und jeweils optimaler Geometrie verglichen. Die Schachbrettverzahnung erreichte dabei eine deutlich höhere Tangentialkraftdichte bei nur geringfügig niedrigerer Radialkraftdichte. Die Versetzungen der Verzahnungen der Statorpole eines lagerlosen reluktanten Rotations-Linear-Motors zur Rotorverzahnung sind entscheidend für die Erzeugung der tangentialen Gesamtkraft bzw. des Drehmoments und somit für die Steuerbarkeit des Motors. Mittels Aufstellung und Lösung eines Optimierungsproblems wurden für einen Motor mit sechs Polpaaren jeweils die optimalen Versetzungen ermittelt und zugleich gezeigt, dass mit beiden Verzahnungsarten Steuerbarkeit erreicht werden kann. Die optimalen Zielfunktionswerte sind ein Maß für die maximalen Tangentialkräfte und zeigen, dass ein schachbrettverzahnter Motor deutlich höhere Tangentialkräfte erreichen kann als ein vergleichbarer kreuzverzahnter Motor. Die erreichbaren Radialkräfte unterscheiden sich dabei nur geringfügig. Dieser Vorteil wird jedoch erkauft durch eine Verkopplung der Vorschubkräfte, was eine aufwändigere Ansteuerung schachbrettverzahnter Motoren zur Folge hat.

Weitere Untersuchungen auf diesem Gebiet sind geplant. Die Analyse der Steuerbarkeit eines schachbrettverzahnten Motors wurden an einem Beispiel mit sechs Polpaaren durchgeführt. Ein solcher Motor wurde bereits hergestellt und erfolgreich in Betrieb genommen. Zum einen soll die Verzahnung auch messtechnisch bei schwebendem Rotor untersucht werden. Zum anderen soll untersucht werden, wie weit die Anzahl der benötigen Pole und Wicklungen eines schachbrettverzahnten Motors noch reduziert werden kann, ohne die Steuerbarkeit zu beeinträchtigen. Dazu ist eine weitere Berechnung mittels des Optimierungsalgorithmus geplant sowie ggf. ein experimenteller Nachweis durch einen weiteren Versuchsaufbau. In diesem Zusammenhang soll auch auf den Nachweis der vollständigen Steuerbarkeit, welcher auch die Radialkräfte umfasst, sowie die konkrete Ansteuerung der Wicklungen eingegangen werden.