Skip to main content
SpringerLink
Log in

Anmerkungen zum „Riemannschen Beispiel“ \({\sum\limits^\infty_{n=1}\ \ {\rm sin}\ n^2x\over n^2}\) einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

  • History of mathematics
  • Published:
Results in Mathematics Aims and scope Submit manuscript

Abstract

According to statements made by K. Weierstraß, B. Riemann claimed already in 1861 that the function \({\sum\limits^\infty_{n=1}\ \ {\rm sin}\ n^2x\over n^2}\) is not differentiable in a dense set of points. A proof of this fact was however not published before 1916. In this article we study new sources which imply that both Weierstra\sB and L. Kronecker already knew proofs and which back up the Riemannian origin of the function. Furthermore, a proof is given that besides some elementary epsilontics only uses information on the growth of the theta series at the boundary of its domain of convergence. Remarkably, this statement on the theta series can be found in a fragment by Riemann.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Similar content being viewed by others

Literatur

  1. Kurt-Reinhard Biermann: Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universität 1810–1933. Akademie-Verlag: Berlin 1988.

    MATH  Google Scholar 

  2. Reinhard Bölling: Georg Cantor — Ausgewählte Aspekte seiner Biographie. Für den Druck überarbeitete Fassung des Eröffnungsvortrages auf dem Cantor-Kolloquium in Halle (Saale), gehalten am 12. Juni 1995. Erscheint in Jahresber. Dtsch. Math.-Ver.

  3. Umberto Bottazzini: The Higher Calculus: A history of real and complex analysis from Euler to Weierstrass. Springer: New York et al. 1986.

    Book  MATH  Google Scholar 

  4. Paul du Bois-Reymond: Versuch einer Classification der willkürlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, J. Reine Angew. Math. 79 (1875), 21–37.

    Google Scholar 

  5. Paul L. Butzer und Eberhard L. Stark: “Riemann’s example” of a continuous nondifferentiable function in the light of two letters (1865) of Christoffel to Prym, Bull. Soc. Math. Belg. 38 (1986), 45–73.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  6. Augustin Louis Cauchy: Méthode simple et nouvelle pour la détermination complète des sommes alternées, formes avec les racines primitives des équations binômes, CR Acad. Sci. Paris X, S. 560 ff. (6. April 1840), auch in Liouvilles Journal V, S. 154ff., hier in Œuvres complètes d’Augustin Cauchy, 27 Bände. Gauthier-Villars: Paris 1882–1974, 1. Série, Vol. V, S. 152-166.

  7. Richard Dedekind: Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten, 1. Fassung in [47, S. 438-447].

  8. —: Erläuterungen zu den Fragmenten XXVIII, 2. Fassung, hier in [48, S. 498-510].

  9. Pierre Fatou: Series trigonométriques et séries de Taylor, Acta Math. 30 (1906), 335–400.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  10. Carl Friedrich Gauß: Werke, 12 Bände. (Königliche) Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, B. G. Teubner: Leipzig1863–1933.

    Google Scholar 

  11. Joseph Gerver: The differentiability of the Riemann function at certain rational multiples of π, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 62 (1969), 668–670.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  12. Joseph Gerver: The differentiability of the Riemann function at certain rational multiples of π, Am. J. Math. 92 (1970), 33–55.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  13. Joseph Gerver: More on the differentiability of the Riemann function, Am. J. Math. 93 (1971), 33–41.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  14. Hermann Hankel: Untersuchungen über die unendlich oft oscillirenden und unstetigen Functionen, in Gratulationsprogramm der Tübinger Universität vom 6. März 1870, hier in Math. Ann. 20 (1882), 63–112.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  15. Godfrey Harold Hardy: Weierstrass’s non-differentiable function, Trans. Am. Math. Soc. 17 (1916), 301–325, auch in [17, Band IV, S. 477-501].

    Google Scholar 

  16. Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood: Some problems of Diophantine approximation, II. The trigonometrical series associated with the elliptic ϑ-functions, Acta Math. 37 (1914), 193–238, auch in [17, Band I, S. 67-112].

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  17. Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood: Collected papers of G. H. Hardy, 7 Bände. At the Clarendon Press: Oxford 1966–1979.

    Google Scholar 

  18. Thomas Hawkins: Lebesgue’s theory of integration, Its origins and development. The University of Wisconsin Press: Madison et al. 1970.

    MATH  Google Scholar 

  19. Charles Hermite: Sur quelques formules relatives à la transformation des fonctions elliptiques, J. Math. Pures Appl., II. Ser. 3 (1858), auch in [21, Band I, S. 487-496].

  20. Charles Hermite: Note sur la théorie des fonctions elliptiques. Extrait de la 6e édition du Calcul différentiel et Calcul intégral de Lacroix. Mallet-Bachelier: Paris 1862, hier in [21, Band II, S. 125–238].

    Google Scholar 

  21. Charles Hermite: Œuvres de Charles Hermite, hrsg. v. Émile Picard, 4 Bände. Gauthier-Villars: Paris 1905–1917.

    Google Scholar 

  22. Charles Hermite und Thomas Jan Stieltjes: Correspondance d’Hermite et de Stieltjes, hrsg. v. B. Baillaud und H. Bourget, 2 Bände. Gauthier-Villars: Paris 1905.

    Google Scholar 

  23. Seiichi Itasu: Differentiabiliy of Riemann’s function, Proc. Japan Acad., Ser. A 57 (1981), 492–495.

    Article  Google Scholar 

  24. Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Gebrüder Bornträger: Königsberg 1829, auch in C. G. J. Jacobi’s Gesammelte Werke, hrsg. v. Carl Wilhelm Borchardt und Karl Weierstraß, 7 Bände. G. Reimer: Berlin 1881–1891, Band I, S. 49–239.

    Google Scholar 

  25. Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Teil I, für den Druck bearbeitet von Richard Courant und Otto Neugebauer. Julius Springer: Berlin 1926.

    MATH  Google Scholar 

  26. Leopold Kronecker: Anwendung der Analysis der Unendlichen auf die Zahlentheorie, Ausarbeitung von Georg Hettner, handschriftlich. Standort: Bibliothek des Instituts Mittag-Leffler, Djursholm.

  27. -: Über den vierten Gaußschen Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste, Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1880, 686-698 und 854-860, hier in [30, Band IV, S. 275-294]

  28. Leopold Kronecker: Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale, hrsg. v. Eugen Netto. B. G. Teubner: Leipzig 1894.

    MATH  Google Scholar 

  29. Leopold Kronecker: Vorlesungen über Zahlentheorie, hrsg. v. Kurt Hensel. B. G. Teubner: Leipzig 1901.

    MATH  Google Scholar 

  30. Leopold Kronecker: Leopold Kronecker’s Werke, hrsg. v. Kurt Hensel, 5 Bände. B. G. Teubner: Leipzig 1895–1931.

    MATH  Google Scholar 

  31. Detlef Laugwitz: Bernhard Riemann: 1826–1866; Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik, Vita mathematica 10. Birkhäuser: Basel, Boston, Berlin 1996.

    Google Scholar 

  32. Freddy Litten: Ernst Mohr — Das Schicksal eines Mathematikers, Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 98 (1996), 192–212.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  33. Wolfram Luther: The differentiability of Fourier gap series and “Riemann’s example” of a continuous, nondifferentiable function, J. Approximation Theory 48 (1986), 303–321.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  34. Wolfram Luther Mathematische Institute in Deutschland 1800–1945, unter Mitarbeit zahlreicher Fachgelehrter, bearbeitet von Winfried Scharlau, Dokumente zur Geschichte der Mathematik 5. Friedr. Vieweg & Sohn: Braunschweig, Wiesbaden 1990.

    Google Scholar 

  35. Ernst Mohr: Wo ist die Riemannsche Funktion \({\sum\limits \infty_{n=1}\ \ {\rm sin}\ n 2x\over n 2}\) nicht differenzierbar? Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 123 (1980), 93–104.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  36. Erwin Neuenschwander: Der Nachlaß von Casorati (1835–1890) in Pavia, Arch. Hist. Exact Sci. 19 (1978), 1–89.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  37. Erwin Neuenschwander: Riemann’s example of a continuous, ‘nondifferentiable’ function, Math. Intell. 1 (1978), 40–44.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  38. Erwin Neuenschwander: Über die Wechselwirkungen zwischen der französischen Schule, Riemann und Weierstraß. Eine Übersicht mit zwei Quellenstudien, Arch. Hist. Exact Sci. 24 (1981), 221–255.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  39. Erwin Neuenschwander: A brief report on a number of recently discovered sets of notes on Riemann’s lectures and on the transmission of the Riemann Nachlass, Hist. Math. 15 (1988), 101–113, auch in [48, S. 855-867].

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  40. Hans Petersson: Modulfunktionen und quadratische Formen, Ergeb. Math. Grenzgeb. 100. Springer: Berlin, Heidelberg, New York 1982.

    Book  MATH  Google Scholar 

  41. Henri Poincaré: Science et méthode. Flammarion: Paris 1908, hier: Wissenschaft und Methode, Autorisierte deutsche Ausgabe mit erläuternden Anmerkungen von F. und L. Lindemann, Wissenschaft und Hypothese XVII. B. G. Teubner: Leipzig und Berlin 1914.

    Google Scholar 

  42. Friedrich (Emil) Prym: Zur Integration der Differentialgleichung \({\partial 2u\over\partial x 2}+{\partial 2u\over\partial y 2}=0\), J. Reine Angew. Math. 73 (1871), 340–364.

    Article  MATH  Google Scholar 

  43. Hervé Queffelec: Dérivabilité de certaines sommes de séries de Fourier lacunaires, C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, 273 (1971), 291–293.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  44. Reinhold Remmert: Funktionentheorie 1. Springer: Berlin et al., 4. Auflage 1995.

  45. Georg Friedrich Bernhard Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, Habilitationsschrift, Göttingen 1854, hier in [47, S. 213-251] und [48, S. 259-297].

  46. Fragmente über die Grenzfälle der elliptischen Modulfunctionen, in [47, S. 427-437] und [48, S. 487-497].

  47. Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, hrsg. v. Heinrich Weber und Richard Dedekind, 1. Ausgabe. B. G. Teubner: Leipzig 1876.

  48. Georg Friedrich Bernhard Riemann: Gesammelte mathematische Werke, wissenschaftlicher Nachlaβ und Nachträge, Collected Papers, hrsg. v. Heinrich Weber, Richard Dedekind und Raghavan Narasimhan, 3. Ausgabe. Springer: Berlin und B. G. Teubner: Leipzig1990.

  49. Ernst Schering: Zum Gedächtnis an B. Riemann, in Gesammelte Mathematische Werke von Ernst Schering, hrgs. v. Robert Haussner und Karl Schering, 2 Bände. Mayer & Müller: Berlin 1909, Band 2, S. 367–383, auch in [48, S. 828-844].

    Google Scholar 

  50. Hermann Amandus Schwarz: Ueber diejenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt, J. Reine Angew. Math. 75 (1873), 292–335, auch in Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz, 2 Bände. Julius Springer: Berlin 1890, Band II, S. 211-259.

    Article  Google Scholar 

  51. Sanford L. Segal: Riemann’s example of a continuous, “nondifferentiable” function continued, Math. Intell. 1 (1978), 81–82.

    Article  MATH  Google Scholar 

  52. Arthur Smith: The differentiability of Riemann’s function, Proc. Am. Math. Soc. 34 (1972), 463–468.

    MATH  Google Scholar 

  53. Arthur Smith: Correction to “The differentiability of Riemann’s function”, Proc. Am. Math. Soc. 89 (1983), 567–568.

    MATH  Google Scholar 

  54. Johannes Thomae: Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale. Louis Nebert: Halle a.S. 1875.

    Google Scholar 

  55. Klaus (Thomas) Volkert: Die Krise der Anschauung, Eine Studie zu formalen und heuristischen Verfahren in der Mathematik seit 1850, Studien zur Wissenschafts-, Sozial- und Bildungsgeschichte der Mathematik 3. Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1986.

    MATH  Google Scholar 

  56. Klaus (Thomas) Volkert: Die Geschichte der pathologischen Funktionen — Ein Beitrag zur Entstehung der mathematischen Methodologie, Arch. Hist. Exact Sci. 37 (1987), 193–232.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  57. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß: Über das sogenannte Dirichlet’sche Princip. Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 14. Juli 1870, veröffentlicht in [63, Band II, S. 49-54].

  58. -: Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen. Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 18. Juli 1872, veröffentlicht in [63, Band II, S. 71-74].

  59. -: Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen, Vorlesung, gehalten im Sommer Semester 1874, handschriftlich, ohne Angabe des Verfassers. Standort: Bibliothek des Instituts Mittag-Leffler, Djursholm.

  60. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß: Zur Functionenlehre, Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1880, hier in [61, S. 67–101] bzw. [63, Band II, S. 201-230].

    Google Scholar 

  61. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß: Abhandlungen aus der Functionenlehre. Julius Springer: Berlin 1886.

    Google Scholar 

  62. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß: Briefe von Karl Weierstraβ an Paul du Bois-Reymond. Nachlaß Weierstraß im Insitut Mittag-Leffler, Djursholm, auszugsweise abgedruckt in [64].

  63. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß: Mathematische Werke von Karl Weierstrass, 7 Bände. Mayer & Müller: Berlin 1894–1927, Nachdruck Georg Olms: Hildesheim und Johnson Reprint: New York o.J.

    Google Scholar 

  64. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß: Briefe von K. Weierstraß an Paul du Bois-Reymond, Acta Math. 39 (1923), 199–225.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  65. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß: Briefe von K. Weierstraß an L. Koenigsberger, Acta Math. 39 (1923), 226–239.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  66. -: Einleitung in die Theorieen der analytischen Functionen, Nach den Vorlesungen im S.S. 1874 ausgearbeitet von G. Hettner. Fotomechanisch vervielfältigt von der Bibliothek des Mathematischen Instituts der Universität Göttingen 1988.

  67. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß: Briefwechsel zwischen Karl Weierstraβ und Sofja Kowalewskaja. Herausgegeben, eingeleitet und kommentiert von Reinhard Böiling. Akademie Verlag: Berlin 1993.

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Westfälische Wilhelms-Universität Mathematisches Institut, Einsteinstraße 62, D-48149, Münster

    Peter Ullrich

Authors
  1. Peter Ullrich
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Additional information

Über verschiedene Fassungen dieser Arbeit habe ich vorgetragen im Rahmen des „European Honours Course in History of Mathematics“ in Palermo, in der Sektion „Geschichte und Philosophie der Mathematik“ der Jahrestagung der DMV in Jena und im Mathematischen Kolloquium der Universität Gesamthochschule Siegen. Mein besonderer Dank gilt dem Institut Mittag-Leffler, Djursholm, für die während eines Aufenthalts im Oktober 1996 gewährte Gastfreundschaft und für die Publikationsgenehmigung für die Quellen [26], [59] und [62].

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Ullrich, P. Anmerkungen zum „Riemannschen Beispiel“ \({\sum\limits^\infty_{n=1}\ \ {\rm sin}\ n^2x\over n^2}\) einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion. Results. Math. 31, 245–265 (1997). https://doi.org/10.1007/BF03322163

Download citation

  • Received:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF03322163

MSC numbers

En]Keywords

Search

Navigation