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Literatur
E. Borel,Leçons sur la théorie des fonctions (Paris, Gauthier-Villars, 1898).
Lebesgue.Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (Paris, Gauthier-Villars, 1904).
L. Féjer (Sur les fonctions bornées et intégrables, Comptes Rendus, 10 décembre 1900) et Mathematische Annalen (tome 57, 1904).
V. p. ex.:Picard,Traité d’analyse, tome I.
Voir par exemple:Borel,Leçons sur les séries à termes positifs, (Paris, Gauthier-Villars, 1902).
Si l’on choisit, par exemple, des axes tels que les deux asymptotes soient les droites:x=±1, l’origine étant le point le plus bas de la courbe, en posant:\(y = \frac{{\varepsilon x^2 }}{{ + \sqrt {I - x^2 } }}\) on a une courbe telle que l’aire comprise entre elle, ses deux asymptotes et l’axe desx est égale à\(\frac{\pi }{2}\varepsilon\) et peut être rendue aussi petite que l’on veut en choisissant covenablement ε.
La dérivation sous le signe ∫· pourr<1 se justifie très aisément.
On peut évidemment supposer quef(u) présente des infinis ou des discontinuités isolées pourvu qu’elle soit absolument intégrable.
Nous appelonsH 1 ce que devientH quand on y remplaceu par (u−θ):H 1 est donc fonction der, θ,u.
Leçons sur l’intégration et les fonctions primitives (Paris, Gauthier-Villars 1904), page 114.
Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Functionen (Mathematische Annalen, tome 57, 1903). — Voir aussiStekloff (Comptes Rendus, 10 nov. 1902). —Parseval, sav. étr. (tome I, 1806).
Il peut être utile de remarquer que si la sérieΣa 2 n +b 2 n est convergente, les séries\(\sum {\frac{{a_n }}{{n^a }}, } \sum {\frac{{b_n }}{{n^a }}}\) sont absolument convergentes pour\(a > \frac{I}{2}\).
On peut l’exprimer de cette façon: sif(u) est la dérivée seconde généralisée d’une fonction périodique et continue:g(u), on a:\(f(u) = \mathop {\lim }\limits_{r = 1} \left[ { - A_1 r - 4A_2 r^2 - ... - n^2 A_n r^n - ...} \right]\) A o+A 1+A 2+... étant la série deFourier deg(u).
Annales de l’École normale, t. 20, p. 491.M. Lebesgue remarque que ϕ(u) étant bornée, il en est de même du rapport\(\frac{{f(u + a) + f(u - a) - 2f(u)}}{{a^2 }}\) à cause d’une extension, qu’il donne, du théorème des accroissements finis à la dérivée seconde généralisée. Partant de la relation\(\varphi (u) = \lim \frac{{f(u + a) + f(u - a) - 2f(u)}}{{a^2 }}\) il intégre deux fois de suite les deux membres, en intervertissant, comme il est permis, les signes lim et ∝. On a ainsi le résultat énoncé dans le texte.
La fonction sous le signe ∝ est dans le cas actuel absolument intégrable; il est donc inutile de parler ici de valeur principale.
La série est alors uniformément convergente sur son cercle de convergence, comme il résulte de l’étude des séries deFourier.
Voir au sujet de ces formules:Harnack,Fundamentalsätze der Functionentheorie Math. Annalen, tome 21.
Comptes Rendus, février 1905.
Comptes Rendus, février 1904.
Relativement aux séries entières à coefficients entiers, je rappelle queM. Borel a obtenu un résultat très intéressant (v. p. exemple, ses leçons sur les fonctions méromorphes, Paris, Gauthier-Villars, 1903).
E. Borel,Sur quelques points de la théorie des fonctions, première partie (Annales de l’Ecole normale, 1895) etLeçons sur la théorie des fonctions.
On pourra lire à ce sujet une lettre d’Hermite àStieltjes (17 décembre 1886). — (Correspondance d’Hermite et deStieltjes, Paris, Gauthier-Villars 1905, page 196.)
Nous n’avons pas placé cette étude dans la première partie, parce que nous avons dû nous servir du théoréme établi dans le § 1 de la seconde partie.
Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives, page 114.
Pour abréger, nous dirons souvent: «en général», au lieu de «sauf exception pour un ensemble de mesure nulle de points ou de valeurs de la variable».
Il résulte de ce raisonnement que si une fonction harmonique est régulière et bornée à l’intérieur d’un cercle, elle pourra être mise sous la forme d’une intégrale dePoisson.
Indiquons encore brièvement une déduction facile de la méthode employée dans le texte:toute fonction harmonique régulière et limitée inférieurement dans C est la somme d’une intégrale de Poisson et d’une fonction harmonique qui reste positive dans C et qui prend la valeur zéro sur C, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle.
Voici une conséquence de la formule deParseval: soienta n ,b n les constantes deFourier def (u); si la série Σn(a 2 n +b 2 n ) est convergente,f(u) est développable en série deFourier sauf peut-être pour un ensemble de mesure nulle de valeurs deu; pratiquement cette proposition ne paraît pas bien utile.
Leçons sur l’intégration et les fonctions primitives (page 128).
Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Konvergenzkreise (Münchner Berichte, 38).
Nous avons pour plus de commodité donné àx une suite dénombrable de valeurs de la forme\(I - \frac{I}{\nu }\); il est facile de voir que cette restriction est insignifiante.
Voir aussi l’article déjà cité deM. A. Hurwitz
Il résulte en effet des recherches deM. Fejer, que la fonction dérivée d’une fonction continuef(u) dans l’ensemble des points où elle existe, est représentable par la série dérivée de la série deFourier def(u), sommée par une double application de la moyenne arithmétique.
Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (§ 8, théorèmes I et 2).
Lebesgue,Mémoire sur les séries trigonométriques, page 471, ou ce mémoire page 351.
An sujet de la convergence uniforme des séries deFourier, on trouvera des propositions intéressantes dans le livre récemment paru deM. Lebesgue,Leçons sur les séries trigonométriques, (Paris, Gauthier-Villars, 1906).
Nous reproduisons ici l’énoncé deRiemann; parmi les conditions énoncées par lui relativement à la fonction ϱ (t), il y en a qui sont superflues.
Essai sur les fonctions données par leur développement de Taylor (Journal de mathématiques pures et appliques, 4e série, tome 8, p. 163).
On trouvera d’intéressantes remarques au sujet de cette question dans la thèse de Mr Zoretti:Sur les fonctions analytiques uniformes etc., (Journal de mathématiques, 1900).
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Fatou, P. Séries trigonométriques et séries de Taylor. Acta Math. 30, 335–400 (1906). https://doi.org/10.1007/BF02418579
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418579