An alternative ξ-function calculation of determinants of an oscillator-type operator with different boundary conditions

Summary

We present an alternative way of using the ξ-function method to calculate the function determinant of an oscillator-type operator with both periodic and Dirichlet boundary conditions. We do it in physical examples and also discuss some fundamental differences between this method and Feynman’s path integral approach. Final comments are made when we do not know the eigenvalues explicitly.

Riassunto

Si presenta un modo alternativo di usare il metodo della funzione ξ per, calcolare il determinante funzionale di un operatore del tipo oscillatore con condizioni del confine sia periodiche che di Dirichlet. Si svolge ciò in esempi fisici e si discutono anche alcune differenze fondamentali tra questo metodo e l’approccio dell’integrale di percorso di Feynman. Si fanno commenti finali quando non si conoscono esplicitamente gli autovalori.

Пезюме

Мы предлагаем альтернативный способ, с использованием ξ-функции, вычисления функционального детерминанта оператора осцилляторного типа в случае периодических граничных условий и граничных условий Дирихле. Приводятся физические примевы. Мы также обсуждаем некотовые фундаментальные различия мезду предложенным методом и методом фейнмана интегрирования по траекториям. Делаются некотовые замечания, касающиеся случая, когда мы не знаем собственные значения явно.