Further development of a new approximate one-velocity theory of multiple scattering

Summary

In two preceding papers, dealing with a new approach for solving one-velocity multiple scattering problems in infinite homogeneous media, approximations for the particle density and current have been derived and studied in detail. Within the framework of the same formalism, the present article concerns the calculation of five further terms in the spherical harmonics expansion of the angular density. From a complete spherical harmonics analysis of the well-known transport equation (carried out in the Appendix), three rigorous continuity conditions relating the unknown coefficients to the density and the current components are derived. In the special case of an isotropic point source, these equations reduce to one single equation and the propounded problem can be solved without great difficulty due to the existing symmetry properties. The solution is then generalized to the case of a given distribution of isotropic sources and both the «direct beam» and the «scattered» contributions to the various coefficients are calculated. The results have all been obtained in the case of slightly non-isotropic scattering, which evidently includes isotropic scattering as a special case. They are finally introduced in the expansions of the scattered particle density and the total density. These formulae will play an important role in a further extension of the new formalism to finite medium problems.

Riassunto

In due lavori precedenti su un nuovo modo per risolvere i problemi di scattering multipli a velocità unica in mezzi omogenei infiniti, si sono ottenute e studiate in dettaglio approssimazioni per la densità e la corrente di particelle. Nel quadro dello stesso formalismo, nel presente articolo si calcolano cinque ulteriori termini nello sviluppo della densità angolare in armoniche sferiche. Da una completa analisi in armoniche sferiche della ben nota equazione del trasporto (sviluppata nell’Appendice) si derivano tre condizioni rigorose di continuità che legano i coefficienti incogniti alle componenti della densità e della corrente. Nel caso speciale di una sorgente puntiforme isotropica, queste equazioni si riducono a una sola e il problema proposto si risolve senza gravi difficoltà date le proprietà di simmetria esistenti. Si generalizza poi la soluzione al caso di una data distribuzione di sorgenti isotropiche e si calcolano i contributi ai vari coefficienti dovuti sia al «raggio diretto» che al «raggio che ha subito lo scattering». I risultati si sono tutti ottenuti per il caso di scattering leggermente non isotropico che evidentemente comprende come caso speciale quello dello scattering isotropico. I risultati si introducono infine negli sviluppi della densità delle particelle scatterate e della densità totale. Queste formule avranno grande importanza in una prossima estensione del nuovo formalismo a problemi in un mezzo finito.