Single-barrier penetration of electrons

Summary

We report here the solution of the single-barrier penetration problem for electrons. This solution is carried out using a generalized WKB-type approximation to first order inħ ² (or, more precisely, to first order inħ ²/m, since this will turn out to be the appropriate expansion parameter). The method is applied here to the Eckart potential, since the exact solution is well known for this case, and consequently supplies a readily available test. We work here in units with energy in electronvolt and distance in Å, since, as we will see, this case would present difficulties in the higher-order terms, due to the small electron mass. However, this does not happen, only the accuracy of the contribution is not as good.

Riassunto

In questo lavoro si presenta la soluzione del problema della penetrazione a barriera singola per gli elettroni. Questa soluzione è ricavata per mezzo di un'approssimazione generalizzata del tipo WKB al primo ordine inħ ² (o, più precisamente, al primo ordine inħ ²/m, dato che questo risulterà essere il parametro di sviluppo appropriato). Il metodo è applicato al potenziale di Eckart, dato che la soluzione esatta è ben nota per questo caso, e di conseguenza fornisce una prova facilmente disponibile. Le unità di misura usate sono l'elettronvolt per l'energia e Å per la distanza, dato che, come vedremo, questo caso presenta difficoltà nei termini a ordine più alto a causa della piccola massa dell'elettrone. Comunque, questo non accade, solamente che l'accuratezza del contributo non è tanto buona.

Резюме

Мы предлагаем решение проблемы прохождения электронов через изолированный барьер. Это решение получается, используя обобщенное ВКБ приближение в первом порядке поħ ² (или более точно в первом порядке поħ ²/m, т.к. эта величина представляет рараметр разложения). Этот метод применяется к потенцичлу Эккарта, т.к. для этого случая известно точное решение, что обеспечивает доступную проверку. В работе мы используем для единиц энергии—электрон-вольты, а для расстояния—Å. Показывается, что этот случай мог бы привести к трудностям в членах высших порядков из-за малой массы электрона. Однако этого не происходит только из-за того, что точность вклада не является удовлетворительной.