Solutions of invariant field equations in the (4, 1) de Sitter space

Summary

Elementary solutions of the invariant scalar, spinor and vector field equations in the (4, 1) de Sitter space are given and their relations to the representation theory of theSO _4,1 de Sitter group are pointed out. The solutions obtained for this space-time of constant curvature having curvature radiusR are analogous to the plane-wave solutions in flat Minkowski space-time. They are constructed in terms of the so-called horospheres determining the wave fronts of these de Sitter plane-wave solutions which are characterized by a timelike four-vector ζ^(±)μ. For the case of the continuous series of unitary irreducible representations ofSO _4,1 the four-vector ζ^(±)μ is related to the energy-momentum four-vector ±p ^μ in the flat-space limitR→∞, and the elementary,i.e. horospherical, solutions in de Sitter space-time go over in this limit into the positive- and negative-frequency plane-wave solutions in Minkowski space-time.

Riassunto

Si danno le soluzioni elementari delle equazioni di campo vettoriali, spinoriali e scalari invarianti nello spazio (4, 1) di de Sitter e si indicano le loro relazioni con la teoria delle rappresentazioni del gruppoSO _4,1 di de Sitter. Le soluzioni ottenute per questo spaziotempo a curvatura costante avente raggio di curvaturaR sono analoghe alle soluzioni dell'onda piana nello spazio-tempo piatto di Minkowski. Queste sono costruite in termini delle cosidette orosfere che determinano i fronti d'onde di queste soluzioni dell'onda piana di de Sitter che sono caratterizzate da un quadrivettore del tipo tempo ζ^(±)μ. Nel caso delle serie continue di rappresentazioni irriducibili unitarie del gruppoSO _4,1 il quadrivettore ζ^(±)μ è collegato al quadrivettore dell'energia-impulso ±p ^μ nel limite dello spazio piattoR→∞, e le soluzioni elementari, cioè orosferiche, nello spazio-tempo di de Sitter si trasformano in questo limite nelle soluzioni dell'onda piana a frequenza negativa e positiva nello spazio-tempo di Minkowski.

Резюме

Приводятся элементарные решения инвариантных скалярных, спинорных и векторных полевых уравнений в пространстве де Ситтера (4, 1). Отмечается связь полученных решений с представлениями теории группы де СиттераSO _4,1. Решения, полученные для пространства-времени постоянной кривизны, имеюзего радиус кривизныR, аналогичны плоским волнам в плоском пространстве-времени Минковского. Указанные решения конструируются на основе так называемых «горосфер», определяюзих волновые фронты решений де Ситтера в виде плоских волн, которые характеризуются времениподобным четырехвектором ζ^(±)μ. Для случая непрерывного ряда унитарных неприводимых представленийSO _4,1 четырех-вектор ζ^(±)μ связам с четырех-вектором энергии-импульса ±p ^μ в пределе плоского пространстваR→∞. Таким образом, элементарные, т.е. «горосферические», решения в пространстве-времени де Ситтера в этом пределе стремятся к плоским волнам с положительной и отрицателной частотами в пространестве-времени Минковского.