Summary
In the (1+4) de Sitter space the equations for free fields of spin 0, spin 1/2 and spin 1 are derived as eigenvalue equations of the Casimir operators. Completeness relations for the solutions are given in the case of spin 0 and spin 1/2, and with these the different Green functions and commutation functions are obtained. It is possible to construct causal commutation functions only for a certain part of the spectrum. This gives rise to a spectrum condition, by which,e.g., the solution satisfying the conformal invariant equation for spin 0 is excluded from the physical state space. All functions are shown to permit an expansion in powers of the de Sitter curvature 1/R, where the first term is in each case the corresponding invariant function of Minkowski space.
Riassunto
Nello spazio di de Sitter (1+4) si ricavano le equazioni per campi liberi di spin 0, 1/2 e 1 come equazioni agli autovalori degli operatori di Casimir. Si forniscono le relazioni di completezza per le soluzioni nel caso di spin 0 e 1/2, e con queste si ottengono le differenti funzioni di Green e le funzioni di commutazione. È possibile costruire funzioni di commutazione causali solo per una certa parte dello spettro. Ciò dà origine ad una condizione spettrale per cui, per esempio, la soluzione soddisfacente l’equazione invariante conforme per spin 0 è esclusa dallo spazio degli stati fisici. Si dimostra che tutte le funzioni permettono uno sviluppo in potenze della curvatura di de Sitter 1/R, dove il primo termine è in ogni caso la corrispondente funzione invariante dello spazio di Minkowski.
Резюме
В пространстве де Ситтера (1+4) выводятся уравнения для свобддных полей спина 0, спина 1/2 и спина, 1, как уравнения для собственных значений операторов Казимира. Приводятся соотношения полноты для решений в случае спино 0 и спина 1/2, и с их помощью получаются различные функции Грина и коммутационные функции. Возможно сконструировать причинные коммутационные функции только для некоторой части спектра. Это дает спектральное условие, благодаря которому, например, решение, удовлетворяющее конформному инвариантному уравнению для спина 0, исключается из пространства физических состояний. Показывается, что все функции допускают разложения по степеням кривизны пространства де Ситтера 1/R, в которых первый член представляет в каждом случае соответствующую инвариантную функцию пространства Минковского.
Similar content being viewed by others
References
F. Bopp:Zeits. f. Phys.,200, 117, 133 (1967).
H. S. Snyder:Phys. Rev.,71, 38 (1947).
G. C. McVittie:Fact and Theory in Cosmology (London, 1961).
A. Böhm:Phys. Rev.,145, 1212 (1965).
O. Nachtmann:Commun. Math. Phys.,6, 1 (1967);Dynamische Stabilität im de Sitterraum, preprint, (Wien, 1967).
F. Gürsey:Les Houches 1963, Relativity, Groups and Topology (New York, 1964), p. 91.
F. Gürsey andT. D. Lee:Proc. Nat. Acad. Sci.,49, 179 (1963).
P. A. M. Dirac:Ann. Math.,36, 657 (1935).
W. E. Thirring:Schladming Lectures 1967.
E. Schrödinger:Expanding Universes (Cambridge, 1956).
H. Takeno:The theory of spherically symmetric space-times, Scient. rep. of Hiroshima Univ. No. 3 (1963).
F. Gürsey:Ann. of Phys.,24, 211 (1963).
J. Dixmier:Bull. Soc. Math. de France,89, 9 (1961).
A. Kihlberg andS. Ström:Ark. f. Fys.,31, 491 (1966).
L. H. Thomas:Ann. Math.,42, 113 (1941).
R. Takahashi:Bull. Soc. Math. de France,91, 289 (1963).
J. G. Kuriyan, N. Mukunda andE. C. G. Sudarshan:Commun. Math. Phys.,8, 204 (1968).
L. S. Pontrjagin:Topologische Gruppen (Leipzig, 1958).
T. U. Philipps: Thesis, Princeton University (1963);T. U. Philipps andE. P. Wigner:De Sitter-Space and Positive Energy, inGroup Theory and Its Application (New York, 1968).
L. Castell: preprint, Munich, September 1968.
Les Houches 1963, edited byC. De Witt (New York, 1964).
E. C. Titchmarsh:Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order Differential Equations (Oxford, 1946);M. H. Stone:Amer. Math. Soc. Coll. Publ., vol.15 (New York, 1932).
N. Limič, J. Niederle andR. Ričzka:Journ. Math. Phys.,7, 1861, 2026 (1966);8, 1079 (1967).
Bateman Manuscript Project (New York, 1954).
L. Castell:Reduction of the most degenerate representation of SO p.q with respect to SO 0p−1 q−1 ⊗ T p+q−2 , preprint (Trieste, 1967).
V. Fock andA. Ivanenko:Compt. Rend.,188, 1470 (1929).
F. Cap, W. Majerotto, W. Raab andP. Unteregger:Fortsch. d. Phys. 14, 205 (1966).
V. Fock:Zeits. f. Phys.,57, 261 (1929).
J. Schwinger:Phys. Rev.,82, 664 (1951).
I. M. Gel’fand andG. E. Schilow:Verallgemeinerte Funktionen (Berlin, 1967).
G. N. Watson:Theory of Bessel Functions (Cambridge, 1952).
J. Généniau andCh. Schomblond:Acad. Roy. de Belgique, Bull. d. Class. des Sciences,54, 1147 (1968).
N. A. Chernikov andE. A. Tagirov:Ann. Inst. H. Poincaré,9, 2, 109 (1968).
L. Castell: preprint, Munich, May 1969.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Traduzione a cura della Redazione.
Перевебено ребакуией.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Börner, G., Dürr, H.P. Classical and quantum fields in de Sitter space. Nuovo Cimento A (1965-1970) 64, 669–714 (1969). https://doi.org/10.1007/BF02721668
Received:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02721668