Impact parameter and infinite-momentum frame kinematics

Summary

A group-theoretical interpretation of the impact parameter within the framework of the Poincaré group is given. To this end timelike representations of the Poincaré group are reduced with respect to the subgroup of transverse Galilei boosts and light front translations. It is shown that the eigenvalues of operatorsB ₁=(N ₁+M ₂)/(p ⁰−p ³),B ₂=(N ₂−M ₁)/(p ⁰−p ³), can be interpreted as a relativistic generalization of the impact parameter. One- and two-particle impact-parameter states are introduced and it is shown that the expansion of the scattering amplitude in terms of these states reduces to the usual impact-parameter expansion. It is demonstrated that the quantitiesB ₁,B ₂ recover the familiar definition of the impact parameter in the front form of classical mechanics too.

Riassunto

Si dà un’interpretazione del parametro d’impatto secondo la teoria dei gruppi dello schema del gruppo di Poincaré. A questo scopo si riducono le rappresentazioni temporali del gruppo di Poincaré rispetto al sottogruppo di aumenti galileani trasversali e traslazioni del fronte luminoso. Si dimostra che gli autovalori degli operatoriB ₁=(N ₁+M ₂)/(p ⁰−p ³),B ₂=(N ₂−M ₁)/(p ⁰−p ³) possono essere interpretati come generalizzazioni relativistiche del parametro d’impatto. Si introducono stati del parametro d’impatto di una e due particelle e si dimostra che lo sviluppo dell’ampiezza di scattering in termini di questi stati si riduce all’usuale sviluppo del parametro d’impatto. Si dimostra che le quantitàB ₁,B ₂ prendono ancora la comune definizione del parametro d’impatto anche nella forma frontale della meccanica classica.

Реэюме

Предлагается интерпретация прицельного параметра в рамках группы Пуанкаре. Для зтого времениподобные представления группы Пуанкаре сводятся к подгруппе поперечных галилеевых усилений и трансляций. Покаэывается, что собственные эначения операторовB ₁=(N ₁+M ₂)/(p ⁰−p ³),B ₂=(N ₂−M ₁)/(p ⁰−p ³) могут быть интерпретированы как релятивистское обобшение прицельного пара-метра. Вводятся одно-и двухчастичные состояния прицельного параметра и пока-эывается, что раэложение амплитуды рассеяния в терминах зтих состояний сводится к обычному раэложению по прицельному параметру. Покаэывается, что величиныB ₁,B ₂ восстанавливают обычное определение прицельного параметра в классической механике.