Properties of the impact-parameter representation

Summary

We discuss the impact-parameter representation in the approach of Blankenbecler and Goldberger. After generalizing the Bessel transform to distributions (this allows us to consider power-behaved amplitudes), we extend the results of Henzi about the analytic properties of the impact-parameter functionh(s, b). In particular it is shown that the amplitudeF(s, t) satisfies dispersion relations int with a finite number of subtractions if and only ifh(s, b) is generated by an analytic functionH(s, b ²) which fulfils similar dispersion relations inb ². These results are further applied to investigate the implications of simple elements of the analytic structure ofh(s, b), as poles and cuts. The corresponding behaviour ofF(s, t) is examined in the asymptotict-region and also for small |t| and the consequences for the partial waves are described.

Riassunto

Si discute la rappresentazione del parametro di impatto nell’approccio di Blankenbecler e Goldberger. Dopo aver generalizzato la trasformazione di Bessel alle distribuzioni (ciò che ci permette di considerare ampiezze con comportamento di potenze), si estendono i risultati di Henzi sulle proprietà analitiche della funzioneh(s, b) del parametro di impatto. In particolare si dimostra che l’ampiezzaF(s, t) soddisfa relazioni di dispersione int con un numero finito di sottrazioni se e solo seh(s, b) è generata da una funzione analiticaH(s, b ²) che soddisfa analoghe relazioni di dispersione inb ². Si applicano ulteriormente questi risultati all’analisi delle implicazioni di semplici elementi della struttura analitica dih(s, b), come poli e tagli. Si esamina il corrispondente comportamento diF(s, t) nella regione asintotica dit ed anche per |t| piccolo e si descrivono le conseguenze per le onde parziali.

Реэюме

Мы обсуждаем представление прицельного параметра в подходе Бланкебеклера и Голдбергера. После обобшения преобраэования Бесселя на распределения (которое поэволяет нам рассматривать амплитуды, иэменяюшиеся по степенному эакону), мы распространяем реэультаты Хенэи, касаюшиеся аналитических свойств функции прицельного параметра h(s, b). В частности, покаэывается, что амплитуда -F(s, t) удовлетворяет дисперсионным соотнощениям по I с конечным числом вычитаний, если и только еслиh(s, b) обраэуется с помошью аналитической функцииh (s, b ²), которая удовлетворяет аналогичным дисперсионным соотнощениям по b². Эти реэультаты эатем испольэуются для исследования применений простых злементов аналитической структурыh(s, b) как полюсов и раэреэов. Исследуется соответствуюшее поведениеF(s, t) в асимптотической t-области, а также для малых |t|. Описываются следствия для парциальных волн.