Scaling properties of spin-1/2 operators

Summary

The assumption that a spin-1/2 fieldψ has a unique dimension is investigated within the framework of scale and internal-symmetry breaking and linear current-field algebra. Expressions for the equal-time commutators εd³x[∂(x),ψ(0)] and [ψ(x),ψ(0)] (whereJ ^a_μ denotes theSU₂ ⊗SU₂ currents) are given for theories in which the fermion source term has a unique dimension (in terms of the scale dimensionalities of ∂^μJ_μ^a,J_k^a, ψ and the source). It is found that the fermion source term cannot have a unique dimension forM≠0 if both of these commutators vanish. Additional sufficient conditions in order for the source to have mixed dimensions are also given in terms of the scale dimensionalities of$\partial ^\mu J_\mu ^a$ and (denoted byl_d andl_k, respectively). Forl_d≠3 andl_k≠3 and for fermion sources with arbitrary mixed dimensions the existence of parts of the source with certain dimensions is established if either of the commutators εd³x[$\partial ^\mu J_\mu ^a$(x),ψ(0)] or [$J_k^a$(x),ψ(0)] is nonvanishing. The equal-time commutators [$\theta _\mu ^\mu$(x), (0)γ ₀], [u(x),$\bar \psi$(0)γ ₀] and [δ(x),$\bar \psi$(0)γ ₀] (where$\theta _{\mu v}$ denotes the energy-momentum tensor,u theSU ₂ ⊗SU ₂-symmetry-breaking part ofϑ ₀₀ andδ theSU ₂ ⊗SU ₂ singlet part ofϑ ₀₀ which breaks dilatation invariance even in the chiral limit) are calculated in terms of parts of the fermion source with fixed dimension. As a particular result we notice that in a model with a free (forM≠0) fermion fieldl _k=l _d=3 follows.

Riassunto

Nel contesto della rottura della scala e della simmetria interna e con l’algebra lineare di corrente-campo, si esamina l’ipotesi che un campoψ con spin 1/2 abbia un’unica dimensione. Si dànno espressioni per i commutatori di tempo uguale εd³ x[$\partial ^\mu J_\mu ^a$(x),ψ (0)] e [$J_k^a$(x),ψ(0)] (in cui$J_\mu ^a$ denota le correnti diSU ₂ ⊗SU ₂) per teorie in cui il termine di sorgente fermionica ha una sola dimensione (in termini delle dimensionalità di scala di$J_\mu ^a$,$J_k^a$, ψ, e della sorgente). Si trova che il termine di sorgente fermionica non può avere una sola dimensione perM≠0 se entrambi questi commutatori tendono a zero. Si dànno ulteriori condizioni sufficienti perché la sorgente abbia dimensioni miste in termini delle dimensionalità di scala di$J_\mu ^a$ e$J_k^a$ (designate conl _d el _k rispettivamente). Perl _d≠3 el _k≠3 e sorgenti fermioniche con dimensioni miste arbitrarie si conferma l’esistenza di parti della sorgente con certe dimensioni se uno dei due commutatori εd³ x[$\partial ^\mu J_\mu ^a$(x),ψ(0)] o [$J_k^a$(x),ψ(0)] non tende a zero. Si calcolano i commutatori di tempo uguale [$\theta _\mu ^\mu$(x), {ie644-6}(0)γ ₀], [u(x), {ie644-7}(0)γ ₀] e [δ(x), {ie644-8}(0)γ ₀] (in cui {ie644-9} indica il tensore energia-impulso,u la parte diϑ ₀₀ che infrange la simmetriaSU ₂ ⊗SU ₂ eδ la parte di singoletto diSU ₂ ⊗SU ₂ diϑ ₀₀ che infrange l’invarianza alla dilatazione anche nel limite chirale) in termini delle parti della sorgente fermionica con dimensioni fisse. Come risultato particolare si nota che in un modello con un campo fermionico libero (perM≠0) segue chel _k=l _d=3.

Реэюме

В рамках нарущения масщтабной и внутренней симметрий и линейной алгебры токов-полей исследуется предположение, что поле ψ со спином 1/2 имеет одноэначную раэмерность. Приводятся выражения для равновременных коммутаторов εd³ x[{ie644-10}(x), ψ(0)] и {ie644-11}(x), ψ(0)] (где {ie644-12} обоэначают токиSU ₂ ⊗SU ₂) для теорий, в которых член фермионного источника имеет одноэначную раэмерность. Полученные выражения эаписаны череэ масщтабные степени многомерности {ie644-13}, {ie644-14}, ф и источника. Получается, что член фермионного источника не может иметь одноэначную раэмерность дляM ≠ 0, если оба зти коммутатора обрашаются в нуль. Также приводятся дополнительные достаточные условия для того, чтобы источник имел фиксированную раэмерность, которые выражаются череэ масщтабные степени многомерности {ie644-15} и {ie644-16} (обоэначенные сооответственно череэl _d иl _k). Дляl _d ≠ 3 иl _k ≠ 3 и для фермионных источников с проиэвольными фиксированными раэмерностями устанавливается сушествование частей источника с определенными раэмерностями, если один иэ коммутаторов εd³ x[{ie644-17}(x), ψ(0)] или [{ie644-18}(x), ψ(0)] не обрашается в нуль. Вычисляются равновременные коммутаторы [{ie644-19}(x), {ie644-20}(0)γ₀], [и(х), {ie644-21}(0)γ₀] и [δ(х), {ie644-22}(0)γ₀] (где {ie644-23} обоэначает тенэор знергии-импульса,u — часть θ₀₀, нарущаюшую симметриюSU ₂ ⊗SU ₂, иδ —SU ₂ ⊗SU ₂ синглетная часть θ₀₀, которая нарущает инвариантность расщирения даже в киральном пределе), которые выражаются череэ части фермионного источника с фиксированной раэмерностью. Как частный случай, мы получаем, что модель со свободным (дляM ≠ 0) фермионным полем даетl _k=l _d=3.