On the Nijenhuis tensor in relativistic electrodynamics

Summary

The Nijenhuis tensorsN ^••c_ab corresponding to the different types of relativistic electromagnetic fields in the Ruse-Synge classification are considered. By using the Newman-Penrose spin coefficient formalism, it is shown that for the type-A fieldsN ^••c_ab =0 if and only if i) all the optical parameters of the two real null congruencesl ^a andn ^a vanish and ii)l _a;bn^b=n_a;bl^b=0. In the case of the type-B fields,N ^••c_ab =0 if and only if i)l ^a is twist free,l _a;bn^b=0, and ii)$I_1 = \varrho \bar \varphi _2$. The conditions for the type-C fields are obtainable from the type-B fields by just interchangingl ^a withn ^a. The effect ofN ^••c_ab =0 on the 4-currentJ ^a is that i)J ^a=0 for the type-A′ field and ii)J _aJ^a<0 for the type-A″ field as well as for the singular fields (typeB and typeC).

Riassunto

Si considerano i tensoriN ^••c_ab corrispondenti ai diversi tipi di campo elettromagnetico nella classificazione di Ruse e Synge. Usando il formalismo del coefficiente di spin di Newman e Penrose, si mostra che per campi di tipoA N ^••c_ab =0 se e solo se i) tutti i parametri ottici delle due congruenze reali nullel ^a edn ^a si annullano e ii)l _a;bn^b=n_a;bl^b=0. Nel caso dei campi di tipoB,N ^••c_ab =0 se e solo se i)l ^a é senza torsione,l _a;bn^b=0 e ii)$I_1 = \varrho \bar \varphi _2$. Le condizioni per campi di tipoC si ottengono da campi di tonoB solo scambiandol ^a conn ^a. L’effetto diN ^••c_ab =0 sulla quadricorrenteJ ^a è che i)J ^a=0 per il campo di tipoA′ e ii)J _a J ^a<0 per il campo di tipoA″ e per i campi singoli (tipoB e tipoC).

Резюме

Рассматриваются тензоры НидженьюисаN ^••c_ab , соответствующие различным типам релятивистских электромагнитных полей в классификации Рузе-Синга. Используя формализм спиновых коэффициентов Ньюмана-Пенроуза, показывается, что для полей типаA N ^••c_ab =0, если 1) все оптические параметры двух вещественных нулевых конгруэнцийl ^a иn ^a обращаются в нуль и 2)l _a;bn^b=n_a;bl^b=0. В случае полей типаB N ^••c_ab =0, если 1)l ^a не содержит закручивания,l _a;bn^b=0 и 2)$I_1 = \varrho \bar \varphi _2$. Условия для полей типаC можно получить из полей типаB, посредством заменыl ^a наn ^a. РезультатN ^••c_ab =0 на четырехмерном токеJ ^A заключается в том, что 1)J ^A=0 для поля типаA′ и 2)J _AJ^A<0 для поля типаA″, а также для сингулярных полей (типаB и типаC).