Schrödinger, klein-gordon and dirac equations as transport equations in minkowski space

Summary

The formulation by Feynman of the Schrödinger and Dirac equations as describing successive scatterings of wave functions against a potential is restated in terms of linear transport theory in Minkowski spacex ₁ x ₂ x ₃ x ₄(=ict). The Schrödinger and Klein-Gordon equations will then be analogous to diffusion approximations of the Boltzmann equation, which is the rigorous equation for linear transport problems. Another approximation of the Boltzmann equation involving a somewhat more detailed description of the angular dependence of the flux than diffusion theory is developed and shown to be an analogue to the Dirac equation.

Riassunto

Si riformula in termini della teoria del trasporto lineare nello spazio di Minkowskix ₁ x ₂ x ₃ x ₄(=ict) la formulazione fatta da Feynman delle equazioni di Schrödinger e di Dirac che descrivono scattering successivi delle funzioni d’onda su un potenziale. Le equazioni di Schrödinger e di Klein-Gordon saranno così analoghe alle approssimazioni di diffusione dell’equazione di Boltzmann, che è l’equazione rigorosa per i problemi del trasporto lineare. Si sviluppa un’altra approssimazione dell’equazione di Boltzmann che comporta una descrizione della dipendenza angolare del flusso in qualche modo più dettagliata della teoria della diffusione e si dimostra che è analoga all’equazione di Dirac.

Реэюме

Формулировка Фейнмана уравнений Щредингера и Дирака, которая описывает последовательные рассеяния волновых функций в эависимости от потенциала, вновь появляется в терминах линейной транспортной теории в пространстве Минковскогоx ₁ x ₂ x ₃ x ₄(=ict). Уравнения Щредингера и Клейна-Гордона окаэываются аналогичными диффуэионному приближению уравнения Больцмана, которое представляет строгое уравнение для линейных проблем переноса. Раэвивается другое приближение уравнения Больцмана, включаюшее в некоторой степени более подробное описание угловой эависимости потока, чем диффуэионная теория, и покаэывается, что оно аналогично уравнению Дирака.