Sunto
Si mostra che unaV n a connessione affine può sempre pensarsi come appartenente ad uno spazio proiettivo di dimensione≥n(n+3)/2, ai cui punti (ed entro i cui spazi2 — osculatori) sia associata una ben determinata varietà algebrica. Le geodetiche della connessione, l'arco affine di una geodetica in una determinata connessione e il trasporto di una direzione si costruiscono con operazioni di carattere proiettivo in rapporto a tale varietà algebrica.
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Bibliography
E. Bompiani, Geometria degli spazî a connessione affine, « Annali di Matem. », s. IVa, t. XXIV, 1945, p. 257–282, Mi riferisco a questo lavoro, oltre che per l'esame critico da cui nasce l'esigenza di una costruzione geometrica delle connessioni, per la bibliografia che non sto qui a ripetere.
(2) Ad un altro tipo di « estensioni », da Lui dette « anolonome » era arrivatoE.a Bortolotti:Coordinate normali ed « estensioni » nella geometria degli spazî a connessione lineare, « Rend. Acc. d'Italia », s. VIIa, vol. II (1941), p. 106–116.
E. Bompiani,Alcune idee generali per lo studio differenziale delle varietà. « Rend. Acc. Lincci », s. VIa, vol. V (1927), p 383–389.
E.a. Bortolotti,Sistemi assiali e connessioni nelle V n, « Rend. Acc. Lincei », s. VIa, vol. V (1927), p. 390–395.
Si ricordino in particolare i Suoi lavori:Sulla geometria delle varietà a connessione affine. Teoria invariantiva delle trasformazioni che conservano il parallelismo, « Ann. di Matem. », s. IIIa, t. VIII (1930), p. 53–101;
Sulle connessioni proiettive, « Rend. Cire. Matem. Palermo », t. 56 (1932), p. 1–57;
Spazî proiettivamente piani, « Ann. di Matem. », s IVa, t. XI (1932), p. 114–134.
Spazî a connessione proiettiva, Ed. Cremonese (1941).
T. Levi-Civita,Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana, « Rend. Circ. Matem. di Palermo », vol. 42 (1917, p. 173–205.
F Severi,Sulla curvatura delle superficie e varietà, « Rend. Circ. di Palermo », vol. 42, (1917), p. 227–259.
Le prime nozioni date appresso si trovano inP. Del Pezzo:Sugli spazî tangenti ad una superficie o ad una varietà, « Rend. Acc. Scienze di Napoli », 1886. Delle numerose ricerche posteriori manca ancora un'esposizione trattatistica. Se ne può vedere un riassunto (fino al 1927) nell'articolo diA. Terracini:Esposizione di alcuni risultati di geometria proiettiva differenziale negli iperspazî, Appendice III al vol. II (p. 729–769) di.G. Fubini eE. Čech:Geometria proiettiva differenziale, (Ed. Zanichelli).
E. Bompiani,Geometria proiettiva di elementi differenziali, « Annali di Matematica », s. IVa, t. XXII (1943), pp. 1–32. Si veda in particolare il Cap. 1o.
E. Bompiani,Sulla normalizzazione delle equazioni differenziali, « Rend. Acc. Lincci », s. VIa, vol. XXIII (1936), p. 807–812;
Sur la normalisation des équations diffèrentielles lineaires, « Bulletin da la Section Scientifique de l'Académie Roumaine », t. XXVIII (1936); e più recentemente nella Memoria:Forme normali delle equazioni differenziali lineari e loro significato geometrico, « Ann. Scient. de l'Université de Jassy », t. XXIII (1937), p. 75–105.
E. Bompiani,Sulle corrispondenze puntuali fra spazî proiettivi, « Rend. Acc. Lincei », s. VIIIa, vol. VI, p. 145–161.
E. Bompiani,Alcuni invarianti proiettivi di elementi curvilinei, “ Rend. Acc. Lincei », s. VIa, vol. XXII (1935), p. 483–491; n. I, 1.
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Bompiani, E. Interpretazione proiettiva degli spazî a connessione affine. Annali di Matematica 28, 69–87 (1949). https://doi.org/10.1007/BF02411119
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02411119