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References
Citerò nel seguito con unaM. la Memoria delLevi-Civita.
Non mancan di certo pregevoli esposizioni geometriche della teoria della curvatura totale delle superficie ; ma io dovevo piegar la mia trattazione a particolari esigenze, in vista degli scopi che ’ mi proponevo per le varietà.
Non basta, per concluder ciò, osservare che id s 2 delleS, S, sotto la forma geodetica, cominciano a differire dal 5° ordine in poi (cfr. col n° 4).
Vedi ad es.L. Bianchi,Legioni di geometria differenziale, 2a edizione (Pisa, Spoerri, 1902), vol. I, pag. 194.
Vedi ad es.Bianchi, loe. cit. 4), pag. 196.
Che il teorema dei seni valga pei triangoli geodetici, a meno di quantità del 4° ordine, é notato anche inG. Darboux,Leçons sur la théorie générale des surfaces, IIIe partie (Paris, Gauthier-Vil lars, 1894), pag. 170. VeramenteDarboux considera, invece dei seni di a/R,b/R, c/R, lelungheççe ri dotte (secondo Christoffel) dei latia, b, e; ma queste lunghezze, a meno appunto di quantità del 40 ordine, riduconsi a quei seni (1. e, p. 190).
Darboux, loe, cit. 6), III partie, pag. 168, formula (35).
M. § 17.
Definizione che particolarizza, per n = 2, quella delLevi-Civita, relativa ad unaV n . Qui si tien conto che il parallelismo fra direzioni, considerato in M., per n= 2 riducesi alla relazione ďisogonalità. Ciò é provato in M. § 9 e risulterà del resto anche dal n° 11 del presente lavoro. I0) Per ľespressione della differenza tra un arco e la relativa corda ved. per es.G. Humbert,Cours ďAnalyse (Paris, Gautbier-Villars, 1903), t. I, p. 401. La stessa espressione vale evidentemente qualunque sia la dimensione dello spazio euclideo in cui la superficie é immersa.11) Cfr. per es.R. Bonola,La geometria non-euclidea (Bologna, Zanichelli, 1906), p. 21.
Bonola, loc. cit., p. 39.
Si sottindende che, delle due intersezioni di ciascuno dei circoli massimi considerati, si sceglie quella che appartiene alľintorno diP.
Per la citazione dettagliata dei passi corrispondenti dalle Gesammelte Werke delRiemann, nonché per la dimostrazione del fatto che effettivamente la definizione delRiemann può presentarsi sotto questa forma, ved. il n° 10 del presente lavoro.
Cioé il luogo delle geodetiche spiccate daP secondo direzioni appartenenti a un dato fascio. Cfr. per es.Bianchi, loc. cit., vol. I, pag. 339.
Bianchi, loe. cit., vol. I, pag. 195.
Più brevemente si sarebbe potuto dire: la π. fa corrispondere alle intersezioni deľ cono isotropo della stella (P0) coi piani reali del fascio (a0), le generatrici analoghe del cono isotropo della stella (P). Dunque il trasformato, mediante π, del primo cono isotropo, che é irriducibile, non può che coincidere col secondo; cioé π non può che essere una congruenza.
Il ragionamento esposto nelľOsservazione del n° 8, vale evidentemente anche se il quadrilateroPQPQ é immerso in una varietàV n , anziché in una superficie 5. Basta alľuopo considerare le cose nello spazio euclideoS N , cuiV n appartiene.
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Severi, F. Sulla curvatura delle superficie e varietà. Rend. Circ. Mat. Palermo 42, 227–259 (1916). https://doi.org/10.1007/BF03014900
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