On bounds for solutions to nonlinear wave equations in Hilbert space with applications to nonlinear elastodynamics

Abstract

For the nonlinear wave equationu _tt -Nu +G(t,u, u _t ) = ℱ in Hilbert space, with associated homogeneous initial data, we show how ana priori bound of the form ∫ ^T₀ ∥G(τ,u, u _τ)∥² dτ ≤ κ ∫ ^T₀ ∥ℱ(τ)∥² dτ leads to upper and lower bounds for ∥u∥ in terms of ∥ℱ∥. An application to nonlinear elastodynamics is presented.

Zusammenfassung

Für die nicht-lineare Wellengleichungu _tt -Nu +G(t,u, u _t ) = ℱ in einem Hilbert Raum mit zugehörigen Anfangsbedingungen zeigen wir wie eine vorgegebene Schranke von der Form

$$\smallint _0^T \parallel G(\tau , u, u_\tau )\parallel ^2 d\tau \leqslant \kappa \smallint _0^T \parallel \mathcal{F}(\tau )\parallel ^2 d\tau$$

zu oberen und unteren Schranken für ∥u∥ in Abhängigkeit von ℱ führt. Eine Anwendung auf nichtlineare Elastodynamik wird gezeigt.