Differenzialgleichungssysteme – ein allgemeiner Zugang zu Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Im Kap. 13 haben wir uns ausführlich mit rechnerischen Verfahren beschäftigt, um Lösungen von Differenzialgleichungen zu bestimmen. Dabei haben wir jedoch nur angenommen, dass solche Lösungen tatsächlich existieren, dies jedoch niemals bewiesen. Auch die Frage, ob wir wirklich alle Lösungen einer Differenzialgleichung gefunden haben, musste unbeantwortet bleiben.

Mit dem Satz von Picard-Lindelöf können wir nun die Begründung nachreichen, und wir werden das gleich für Systeme von Differenzialgleichungen tun können. Um diesen Satz und zahlreiche andere Aspekte aus der Theorie der Differenzialgleichungen angehen zu können, werden wir starken Gebrauch von Ergebnissen aus der mehrdimensionalen Analysis, aber auch aus der linearen Algebra machen. In diesem Kapitel kommen diese beiden unterschiedlichen Bereiche der Mathematik erstmals gemeinsam zum Zuge.

Ein wichtiges Phänomen, das im Zusammenhang mit Differenzialgleichungen eine Rolle spielt, ist die Stabilität: Wie wirken sich kleine Veränderungen in den Anfangsbedingungen auf die Lösung aus? Dies ist zum einen von Interesse, um das Verhalten komplizierter nicht-linearer Systeme qualitativ zu verstehen, zum anderen ist es bei numerischen Verfahren essenziell. Bei einem instabilen Verfahren hat die berechnete Näherung nichts mit der tatsächlichen Lösung zu tun.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Definition und qualitatives Lösungsverhalten

Definition eines Differenzialgleichungssystems

Unter einem Differenzialgleichungssystem n-ter Ordnung mit $m$ Gleichungen auf einem Intervall $I\subseteq\mathbb{R}$ ($n$,$m\in\mathbb{N}$) versteht man eine Gleichung der Form

$$\displaystyle\boldsymbol{y}^{(n)}(x)=\boldsymbol{F}(x,\boldsymbol{y}(x),\boldsymbol{y}^{\prime}(x),\ldots,\boldsymbol{y}^{(n-1)}(x))$$

für alle $x\in I$. Hierbei ist $\boldsymbol{F}\colon I\times\mathbb{C}^{m\times n}\to\mathbb{C}^{m}$ gegeben und die Funktion $\boldsymbol{y}\colon I\to\mathbb{C}^{m}$ gesucht.

1.2 Jede Differenzialgleichung $n$-ter Ordnung lässt sich als System erster Ordnung formulieren

Indem man für die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen bis zur Ordnung $n-1$ neue Unbekannte einführt, erhält man eine Formulierung als ein System erster Ordnung. Generell kann jedes Differenzialgleichungssystem als System erster Ordnung formuliert werden.

Bei einem autonomen System hängt die Funktion $\boldsymbol{F}$ nicht explizit von $x$ ab. Bei solchen Systemen lassen sich die Lösungen in sogenannten Phasendiagrammen als Trajektorien darstellen. In diesen Phasendiagrammen gibt es kritische Punkte, d. h. Punkte mit $\boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\mathbf{0}$ für alle $x$. Diese Punkte und das asymptotische Verhalten der Trajektorien in ihrer Umgebung ermöglichen ein qualitatives Studium des Lösungsverhaltens.

1.3 Existenz von Lösungen

Satz von Picard-Lindelöf

Für $x_{0}\in\mathbb{R}$, $\boldsymbol{y}_{0}\in\mathbb{C}^{n}$, $a$, $b> 0$ setze

$$\displaystyle I=[x_{0}-a,x_{0}+a]$$

und

$$\displaystyle Q=\{\boldsymbol{z}\in\mathbb{C}^{n}\,|\,\max_{j=1,\ldots,n}|z_{j}-y_{j0}|\leq b\}.$$

Ist die Funktion $\boldsymbol{F}\colon I\times Q\to\mathbb{C}^{n}$ stetig, komponentenweise durch $R$ beschränkt und genügt sie bezüglich ihres zweiten Arguments einer Lipschitz-Bedingung mit Lipschitz-Konstante $L$, so hat das Anfangswertproblem

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{y}^{\prime}(x)&\displaystyle=F(x,\boldsymbol{y}(x)),\\ \displaystyle\boldsymbol{y}(x_{0})&\displaystyle=\boldsymbol{y}_{0},\end{aligned}$$

auf dem Intervall $J=[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha]$ mit $\alpha=\min\{a,b/R\}$ genau eine stetig differenzierbare Lösung $\boldsymbol{y}\colon J\to Q$.

Der Satz von Picard-Lindelöf ist konstruktiv. Durch Integration des Anfangswertproblems erhält man eine Fixpunktgleichung. Mit dieser kann eine Folge sukzessiver Approximationen an die Lösung berechnet werden.

1.4 Die Lösung linearer Differenzialgleichungssysteme

Bei einem linearen Differenzialgleichungssystem erster Ordnung mit $n$ unabhängigen Gleichungen ist die Lösungsmenge ein affiner Raum der Dimension $n$. Eine Basis des Vektorraums der Lösungen der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung nennt man Fundamentalsystem.

Existenz von Fundamentalsystemen

Ist $\boldsymbol{A}\colon I\to\mathbb{C}^{n\times n}$ die Matrixfunktion in einem homogenen linearen Differenzialgleichungssystem $\boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A}(x)\,\boldsymbol{y}(x)$ und sind die Koeffizientenfunktionen von $\boldsymbol{A}$ stetig und beschränkt, so besitzt das Differenzialgleichungssystem ein Fundamentalsystem $\{\boldsymbol{y}_{1},\ldots,\boldsymbol{y}_{n}\}$ mit Funktionen $\boldsymbol{y}_{j}\colon I\to \mathbb{C}^{n}$.

1.5 Systeme mit konstanten Koeffizienten führen auf Eigenwertprobleme

Bei konstanten Koeffizienten liefert jeder Eigenwert der Matrix eine Lösung des Systems. Gibt es mehrere linear unabhängige Eigenvektoren zu einem Eigenwert, ergeben sich entsprechend viele linear unabhängige Lösungen. Lösungen zu verschiedenen Eigenwerten sind stets linear unabhängig.

1.6 Mit der Wronski-Determinanten kann überprüft werden, ob ein Fundamentalsystem vorliegt

Schreibt man $n$ Lösungen eines homogenen linearen $(n\times n)$-Differenzialgleichungssystems als Spalten einer Matrix, so heißt deren Determinante Wronski-Determinante. Ist diese an einer Stelle des betrachteten Intervalls ungleich null, so ist sie dies an jeder Stelle und die Lösungen bilden ein Fundamentalsystem.

1.7 Manchmal entspricht das beobachtete Lösungsverhalten nicht der erwarteten Konvergenzordnung

Bei der Anwendung numerischer Lösungsverfahren können Stabilitätsprobleme auftreten. Die Schrittweite muss für ein gegebenes System klein genug gewählt werden, damit Stabilität sichergestellt werden kann. Für Stabilitätsuntersuchungen betrachtet man ein einfaches Testproblem mit einem Parameter $\lambda$. Jedes Verfahren besitzt ein Gebiet absoluter Stabilität, in dem das Produkt aus Schrittweite und $\lambda$ liegen muss.

1.8 Stabilitätsprobleme sind typisch für steife Differenzialgleichungssysteme

Bei einem steifen Differenzialgleichungssystem haben die Eigenwerte der zugehörigen Matrix sehr unterschiedliche Größenordnungen. Obwohl man typischerweise an Ergebnissen für große Zeitspannen interessiert ist, muss die Schrittweite sehr klein gewählt werden, um Stabilitätsprobleme zu vermeiden. Eine Lösung bieten implizite Verfahren, die im Allgemeinen größere Stabilitätsgebiete als explizite Verfahren besitzen.

1.9 Einfache Randwertprobleme sind typisch für Schwingungsphänomene

Probleme wie die schwingende Saite lassen sich als Randwertproblem formulieren. Nur spezielle Voraussetzungen können die eindeutige Lösbarkeit von Randwertproblemen garantieren. Eine generelle Existenz- und Eindeutigkeitstheorie vergleichbar mit dem Satz von Picard-Lindelöf gibt es hier nicht.

Zur numerischen Lösung gibt es recht unterschiedliche Ansätze. Das Schießverfahren approximiert ein Randwertproblem durch Anfangswertprobleme. Es können jedoch Stabilitätsprobleme auftreten.

Bei Differenzenverfahren werden die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt. Man benötigt eine uniforme Diskretisierung des Lösungsgebiets für ihre Anwendung. Die Methode der finiten Elemente baut auf der Formulierung des Randwertproblems als Variationsgleichung auf. Die Lösung wird durch Hutfunktionen oder ähnliche Ansätze approximiert.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

28.1

• Geben Sie bei den folgenden linearen Systemen den Typ des kritischen Punktes $(0,0)^{\mathrm{T}}$ an. Welche Stabilitätseigenschaften liegen vor?

• (a) $\boldsymbol{x}^{\prime}(t)=\begin{pmatrix}1&-2\\ -1&0\end{pmatrix}\boldsymbol{x}(t)$,

• (b) $\boldsymbol{x}^{\prime}(t)=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}4&-5\\ 2&2\end{pmatrix}\boldsymbol{x}(t)$,

• (c) $\boldsymbol{x}^{\prime}(t)=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-4&-1\\ 1&-2\end{pmatrix}\boldsymbol{x}(t)$,

• (d) $\boldsymbol{x}^{\prime}(t)=\begin{pmatrix}4&-10\\ 2&-4\end{pmatrix}\boldsymbol{x}(t)$.

28.2

•• Für $(x,y)^{\mathrm{T}}$ aus dem Rechteck

$$\displaystyle R=\{(x,y)\,|\,|x|<10,\quad|y-1|<b\}$$

ist die Funktion $f$ definiert durch

$$\displaystyle f(x,y)=1+y^{2}.$$

• (a) Geben Sie mit dem Satz von Picard-Lindelöf ein Intervall $[-\alpha,\alpha]$ an, auf dem das Anfangswertproblem

  $$\displaystyle y^{\prime}(x)=f(x,y(x)),\qquad y(0)=1,$$

  genau eine Lösung auf $(-\alpha,\alpha)$ besitzt.

• (b) Wie muss man die Zahl $b$ wählen, damit die Intervalllänge $2\alpha$ aus (a) größtmöglich wird?

• (c) Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. Auf welchem Intervall existiert die Lösung?

28.3

• Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems

$$\displaystyle\boldsymbol{x}^{\prime}(t)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}-3&1\\ -1&-1\end{pmatrix}\boldsymbol{x}(t). $$

Zeigen Sie dazu:

• (a) $\lambda=-2$ ist doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{v}_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}$ ist ein zugehöriger Eigenvektor.

• (b) Der Ansatz

  $$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{\lambda t}\boldsymbol{v}_{2}+t\mathrm{e}^{\lambda t}\boldsymbol{v}_{1}$$

  liefert die Gleichung $(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}_{2})\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}$. Bestimmen Sie eine Lösung $\boldsymbol{v}_{2}$.

• (c) Die Funktionen

  $$\displaystyle\boldsymbol{x}_{1}(t)=\mathrm{e}^{\lambda t}\boldsymbol{v}_{1}\qquad\text{und}\qquad\boldsymbol{x}_{2}(t)=\mathrm{e}^{\lambda t}\boldsymbol{v}_{2}+t\boldsymbol{x}_{1}(t)$$

  bilden ein Fundamentalsystem.

28.4

• Gegeben ist ein Fundamentalsystem $\{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}\}$ eines Differenzialgleichungssystems $\boldsymbol{u}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A}(x)\,\boldsymbol{u}(x)$ und $\boldsymbol{v}$ eine weitere Lösung.

Welches ist die Dimension von $\boldsymbol{A}$? Ist auch $\{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{v}\}$ bzw. $\{\boldsymbol{u}_{1}+\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{1}-\boldsymbol{u}_{2}\}$ ein Fundamentalsystem?

28.5

•• Bestimmen Sie die Stabilitätsbedingung für das verbesserte Euler-Verfahren (siehe S. 480). Zeigen Sie, dass der Schnitt des Gebiets absoluter Stabilität mit der reellen Achse das Intervall $(-2,0)$ ist.

28.6

•• Gegeben ist die Differenzialgleichung

$$\displaystyle x^{2}\,y^{\prime\prime}(x)-x\,y^{\prime}(x)+y(x)=0,\qquad x\in(1,A)$$

mit den Randwertvorgaben

$$\displaystyle y^{\prime}(1)=1,\qquad y(A)=b,$$

wobei $A> 1$ und $b\in\mathbb{R}$ gilt.

Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem der Differenzialgleichung. Für welche $A$ ist das Randwertproblem eindeutig lösbar? Geben Sie für ein $A$, für das keine eindeutige Lösbarkeit vorliegt, je einen Wert von $b$ an, für den das System keine bzw. unendlich viele Lösungen besitzt.

2.2 Rechenaufgaben

28.7

•• Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der folgenden Differenzialgleichungssysteme.

• (a) $x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+(x_{2}(t))^{2}$,

  $x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$,

• (b) $x_{1}^{\prime}(t)=1-x_{1}(t)\,x_{2}(t)$,

  $x_{2}^{\prime}(t)=(x_{1}(t))^{2}-(x_{2}(t))^{3}$.

Was können Sie ohne weitere Betrachtungen über die Stabilität der Punkte aussagen?

28.8

• Berechnen Sie die ersten drei sukzessiven Iterationen zu dem Anfangswertproblem

$$\displaystyle u^{\prime}(x)=x-(u(x))^{2},\quad x\in\mathbb{R},\qquad u(0)=1.$$

28.9

•• Lösen Sie das Anfangswertproblem

$$\displaystyle\boldsymbol{u}^{\prime}(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}\boldsymbol{u}(x),\qquad\boldsymbol{u}(0)=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}.$$

28.10

•• Bestimmen Sie für die Differenzialgleichung

$$\displaystyle x^{2}y^{\prime\prime}(x)-\frac{3}{2}x\,y^{\prime}(x)+y(x)=x^{3}$$

• (a) zunächst die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differenzialgleichung durch Reduktion der Ordnung. Nutzen Sie, dass $y_{1}(x)=x^{2}$ die homogene Differenzialgleichung löst.

• (b) Bestimmen Sie dann eine partikuläre Lösung und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung durch Variation der Konstanten.

• (c) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems mit

  $$\displaystyle y(1)=\frac{17}{5}\qquad\text{und}\qquad y^{\prime}(1)=\frac{21}{5}$$

  an.

28.11

• Das Differenzialgleichungssystem erster Ordnung

$$\displaystyle\boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\begin{pmatrix}0&1\\ 2/x^{2}&0\end{pmatrix}\boldsymbol{y}(x)+\begin{pmatrix}0\\ 1/x\end{pmatrix},\qquad x> 0\,,$$

besitzt das Fudamentalsystem $\{\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\}$ mit

$$\displaystyle\boldsymbol{y}_{1}(x)=\begin{pmatrix}x^{2}\\ 2x\end{pmatrix},\qquad\boldsymbol{y}_{2}(x)=\begin{pmatrix}1/x\\ -1/x^{2}\end{pmatrix},\qquad x> 0\,.$$

Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung $\boldsymbol{y}_{p}$ durch den Ansatz

$$\displaystyle\boldsymbol{y}_{p}(x)=c_{1}(x)\,\boldsymbol{y}_{1}(x)+c_{2}(x)\,\boldsymbol{y}_{2}(x)\,.$$

2.3 Anwendungsprobleme

28.12

••• Zwei Populationen $x$, $y$ mit $0\leq x,y\leq 1$ stehen in Konkurrenz um eine für beide lebenswichtige Ressource. Die zeitliche Veränderung der Populationen wird durch das folgende Differenzialgleichungssystem beschrieben:

$$\begin{aligned}\displaystyle x^{\prime}(t)&\displaystyle=x(t)\left(1-x(t)-\frac{1}{2}\,y(t)\right)\\ \displaystyle y^{\prime}(t)&\displaystyle=y(t)\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,y(t)-\frac{1}{3}\,x(t)\right)\end{aligned}$$

• (a) Überlegen Sie sich, welchen Einfluss die einzelnen Koeffizienten im System beschreiben. Stellen Sie dazu zunächst fest, um was für ein Modell es sich handelt, wenn eine der beiden Populationen nicht vorhanden ist.

• (b) Können beide Populationen koexistieren, oder muss eine davon aussterben?

28.13

•• Die Verteilung und der Abbau von Alkohol im menschlichen Körper kann durch das folgende einfache Modell beschrieben werden. Mit $B(t)$ bezeichnet man die Menge an Alkohol im Blut zum Zeitpunkt $t$, mit $G(t)$ die Menge an Alkohol im Gewebe. Der Austausch des Alkohols zwischen Blut und Gewebe sowie die Ausscheidung werden durch das Differenzialgleichungssystem

$$\begin{aligned}\displaystyle B^{\prime}(t)&\displaystyle=-\alpha B(t)-\beta B(t)+\gamma G(t)\\ \displaystyle G^{\prime}(t)&\displaystyle=\beta B(t)-\gamma G(t)\end{aligned}$$

beschrieben. Dabei beschreibt der Koeffizient $\alpha$ die Geschwindigkeit der Ausscheidung aus dem Körper, der Koeffizient $\beta$ die Geschwindigkeit des Übergangs vom Blut ins Gewebe und der Koeffizient $\gamma$ die des Übergangs vom Gewebe ins Blut.

Geben Sie das Verhalten des Alkoholgehalts qualitativ an. Was ist bei der numerischen Lösung des Systems zu beachten?

28.14

•• Das Anfangswertproblem

$$\displaystyle\boldsymbol{x}^{\prime}(t)=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}-60&20\\ 118&-41\end{pmatrix}\boldsymbol{x}(t),\quad t> 0,$$

mit $\boldsymbol{x}(0)=(1,1)^{\mathrm{T}}$ soll einmal mit dem Euler-Verfahren

$$\displaystyle\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_{k}+h\,\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{k},\quad k=1,2,\ldots$$

und mit dem Rückwärts-Euler-Verfahren

$$\displaystyle\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_{k}+h\,\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{k+1},\quad k=1,2,\ldots$$

und der Schrittweite $h=0.1$ gelöst werden. Führen Sie für beide Verfahren jeweils die ersten 5 Schritte durch. Verwenden Sie dazu nach Möglichkeit einen Computer, da die auftretenden Rechnungen unhandlich sind. Welche Schlussfolgerungen ziehen Sie?

28.15

••• Zu lösen ist das Randwertproblem

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle xu^{\prime\prime}(x)+u^{\prime}(x)-u(x)=x^{2},\\ \displaystyle u(0)=0,\quad u(1)=0.\end{aligned}$$

Formulieren Sie das Randwertproblem als Variationsgleichung. Stellen Sie außerdem das lineare Gleichungssystem auf, das bei der Methode der finiten Elemente mit $4$ Hutfunktionen gelöst werden muss.

28.16

• Verwenden Sie den numerischen Löser ode45, um das Anfangswertproblem

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle u^{\prime\prime}(x)+2x\,u^{\prime}(x)-u(x)=(1+x+x^{2})\,\mathrm{e}^{x}\,,\quad x\in[0,1]\,,\\ \displaystyle&\displaystyle u(0)=0\,,\quad u^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\,,\end{aligned}$$

aus dem Beispiel von S. 502 numerisch zu lösen.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Mit der Substitution $w_{1}(t)=u(t)$, $w_{2}(t)=u^{\prime}(t)$ gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle w_{1}^{\prime}(t)&\displaystyle=w_{2}(t)\\ \displaystyle w_{2}^{\prime}(t)&\displaystyle=\cosh(t)-(w_{1}(t))^{2}+\sin(t)\,(w_{2}(t))^{2}\,w_{1}(t).\end{aligned}$$

Antwort 2

Da $\|\boldsymbol{x}(t)\|=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$ für alle $t\in\mathbb{R}$ ist, ist der Ursprung ein stabiler Punkt. Er ist aber nicht asymptotisch stabil, denn keine Trajektorie konvergiert dagegen.

Antwort 3

Es ist $I=[1,3]$ und $Q=[0,2]$. Die Lipschitz-Konstante ergibt sich aus der Abschätzung

$$\begin{aligned}\displaystyle|F(x,y_{1})-F(x,y_{2})|&\displaystyle=|x^{2}\,(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})|\\ \displaystyle&\displaystyle=x^{2}\,|y_{2}+y_{1}|\cdot|y_{2}-y_{1}|.\end{aligned}$$

Damit ist

$$\displaystyle L=\max_{x\in I,\;y_{1},y_{2}\in Q}x^{2}\,|y_{2}+y_{1}|=9\cdot 4=36.$$

Eine Schranke für $F$ ergibt sich aus

$$\displaystyle|1-y^{2}|\leq 3\quad\text{f{\"u}r }y\in Q.$$

Daher folgt

$$\displaystyle|F(x,y)|=|x^{2}\,(1-y^{2})|\leq 9\cdot 3=27$$

für $(x,y)\in I\times Q$. Es ist damit $R=27$, und wir erhalten

$$\displaystyle\alpha=\min\left\{1,\frac{b}{R}\right\}=\min\left\{1,\frac{1}{27}\right\}=\frac{1}{27}.$$

Also existiert die Lösung garantiert auf dem Intervall $[53/27,55/27]$.

Antwort 4

Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu $x$, $y\in[0,1]$ eine Stelle $\hat{x}$ zwischen $x$ und $y$ mit

$$\begin{aligned}\displaystyle d(f(x),f(y))&\displaystyle=\frac{1}{2}\,|\sin(x^{2})-\sin(y^{2})|\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2}\,|2\hat{x}\,\cos(\hat{x}^{2})\,(x-y)|=|\hat{x}\,\cos(\hat{x}^{2})|\,d(x,y).\end{aligned}$$

Das Maximum von $\hat{x}\mapsto\hat{x}\,\cos(\hat{x}^{2})$ auf $[0,1]$ ist echt kleiner als 1, denn $0$ ist keine Maximalstelle und für alle anderen $\hat{x}\in[0,1]$ ist $0<\hat{x}\cos(\hat{x}^{2})<1$. Daher ist $f$ eine Kontraktion.

Antwort 5

Es reicht die Voraussetzung, dass $G$ eine Kontraktion ist. Wären nämlich $x$ und $y$ verschiedene Fixpunkte, so folgt

$$\displaystyle d(x,y)=d(G(x),G(y))\leq q\,d(x,y)<d(x,y).$$

Dies ist ein Widerspruch.

Antwort 6

Der Vektor der Unbekannten ist $\boldsymbol{y}=(u,v)^{\mathrm{T}}$. Aber wegen dem Term $\sqrt{u(x)}$ kann das System nicht auf die Form eines linearen Systems gebracht werden.

Antwort 7

Zu bestimmen ist eine Zahl $L$ mit

$$\displaystyle L\geq\max\left\{|x|+\left|\frac{1}{1+x^{2}}\right|,|\sin x|+|x^{2}|\,|\,x\in[0,1]\right\}.$$

Dies ist sicher für $L=2$ erfüllt.

Antwort 8

Aus

$$\displaystyle c_{1}\,\sin x+c_{2}\,\cos x=0$$

für alle $x\in[0,2\pi]$ folgt insbesondere

$$\displaystyle 0=c_{1}\,\sin 0+c_{2}\,\cos 0=c_{2}.$$

für $x=\pi/2$ folgt $c_{1}=0$, also ist die Menge $\{f_{1},f_{2}\}$ linear unabhängig.

Analog folgt, dass $\{f_{1},f_{3}\}$ linear unabhängig ist.

Mit dem Additionstheorem folgt schließlich

$$\displaystyle\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\,\sin x+\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\,\cos(x)$$

für alle $x\in[0,2\pi]$, also ist $\{f_{1},f_{2},f_{3}\}$ linear abhängig.

Antwort 9

Auf jedem Intervall, auf dem die Koeffizienten beschränkt sind und eine Konstante $C> 0$ mit

$$\displaystyle\frac{1-\exp(-x^{2})}{1+x^{2}}\geq C$$

existiert, besitzt die Differenzialgleichung ein Fundamentalsystem. Einzige Nullstelle dieses Ausdrucks ist $0$. Die Sinusfunktion ist stets beschränkt, der Term $1/(x-1)$ wird in $1$ unbeschränkt. Daher besitzt die Differenzialgleichungen auf Intervallen der Form $(-\infty,-\delta)$, $(\delta,1-\varepsilon)$ und $(1+\varepsilon,\infty)$ mit $\delta$, $\varepsilon> 0$ auf jeden Fall ein Fundamentalsystem. Es ist dabei wichtig, ein Stück weit von den kritischen Stellen $0$ und $1$ entfernt zu bleiben, daher die Konstanten $\varepsilon$ und $\delta$.

Antwort 10

Die Eigenwerte der Matrix sind $1$ und $-1$, die zugehörigen Eigenräume

$$\displaystyle\mathrm{Eig}(1)=\left\langle\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right\rangle\quad\text{und}\quad\mathrm{Eig}(-1)=\left\langle\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 1\end{pmatrix}\right\rangle.$$

Damit erhalten wir die beiden ersten Elemente des Fundamentalsystems,

$$\displaystyle\boldsymbol{y}_{1}(x)=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\,\exp(x)\quad\text{bzw.}\quad\boldsymbol{y}_{2}(x)=\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 1\end{pmatrix}\,\exp(-x).$$

Im charakteristischen Polynom ist $-1$ eine einfache Nullstelle, dagegen ist $1$ eine doppelte Nullstelle. Wir lösen also das Gleichungssystem

$$\displaystyle\left[\frac{1}{12}\begin{pmatrix}16&12&-8\\ 6&-6&-12\\ 5&-3&2\end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\right]x=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}.$$

Eine Lösung ist $(1,1,-1)^{\mathrm{T}}$.

Mit dem Ansatz

$$\displaystyle\boldsymbol{y}_{3}(x)=\left[\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}+u(x)\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right]\exp(x)$$

ergibt sich $u^{\prime}(x)=1$, also $u(x)=x$. Die dritte Funktion im Fundamentalsystem ist also

$$\displaystyle\boldsymbol{y}_{3}(x)=\left[\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right]\exp(x).$$

Antwort 11

Der Ansatz $y(x)=x^{\lambda}$ führt auf die quadratische Gleichung

$$\displaystyle\lambda^{2}-1=0.$$

Ein Fundamentalsystem der Differenzialgleichung ist also durch $\{x,1/x\}$ gegeben. Die Wronski-Matrix ist dann

$$\displaystyle\boldsymbol{W}(x)=\begin{pmatrix}x&\frac{1}{x}\\ 1&-\frac{1}{x^{2}}\end{pmatrix}.$$

Als Wronski-Determinanten ergibt sich

$$\displaystyle\det\boldsymbol{W}(x)=-\frac{2}{x}.$$

Antwort 12

Die Gleichung des impliziten Euler-Verfahrens lautet

$$\displaystyle u_{j+1}=u_{j}+\frac{h}{2}\,[x_{j}\,(1+u_{j}^{3})+x_{j+1}\,(1+u_{j+1}^{3})].$$

Dies führt auf

$$\displaystyle u_{j+1}\left(1+\frac{h}{2}\,x_{j+1}\,u_{j+1}^{2}\right)=u_{j}+\frac{h}{2}\,[x_{j}+x_{j+1}+x_{j}\,u_{j}^{3}].$$

Es ist also in jedem Schritt eine kubische Gleichung zu lösen. Zur Lösung bietet sich ein Newton-Verfahren an, bei dem der Wert $u_{j}$ als Startwert verwendet wird.

Antwort 13

Für eine Differenzialgleichung der Form

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(P(x)\,u^{\prime}(x)\right)+Q(x)\,u(x)=F(x)$$

erhält man durch die Produktregel

$$\displaystyle P(x)\,u^{\prime\prime}(x)+P^{\prime}(x)\,u^{\prime}(x)+Q(x)\,u(x)=F(x).$$

Da $P(x)\geq c> 0$ für fast alle $x$ gilt, folgt

$$\displaystyle u^{\prime\prime}(x)+\frac{P^{\prime}(x)}{P(x)}\,u^{\prime}(x)+\frac{Q(x)}{P(x)}\,u(x)=\frac{F(x)}{P(x)}.$$

Dies ist die Form für der Differenzialgleichung, die im Differenzenverfahren verwandt wird.

Hat man umgekehrt eine Differenzialgleichung in der Form

$$\displaystyle u^{\prime\prime}(x)+p(x)\,u^{\prime}(x)+q(x)\,u(x)=f(x)$$

vorliegen, so setzt man

$$\displaystyle P(x)=\exp\left(\int_{a}^{x}p(t)\mathrm{d}t\right)$$

sowie

$$\displaystyle F(x)=f(x)\,P(x)\quad\text{und}\quad Q(x)=q(x)\,P(x).$$

Damit folgt $P(x)\geq c> 0$ für alle $x\in[a,b]$,

$$\displaystyle P^{\prime}(x)=P(x)\,p(x)$$

und

$$\displaystyle P(x)\,u^{\prime\prime}(x)+P^{\prime}(x)\,u^{\prime}(x)+Q(x)\,u(x)=F(x).$$

Damit hat man die Form der Differenzialgleichung von S. 1073.

Antwort 14

Ja, denn hat man eine Linearkombination von Hutfunktionen vorliegen, die die Nullfunktion darstellt, so muss man nur einen der Gitterpunkte einsetzen. In diesem besitzt nur eine einzige Hutfunktion den Wert $1$, alle anderen sind null. Also ist der entsprechende Koeffizient null.