Zufällige Variable – der Zufall betritt den ℝ¹

Zusammenfassung

In den kombinatorischen Beispielen konnten wir Wahrscheinlichkeit explizit ausrechnen. Aber das Modell des Wahrscheinlichkeitsraums $(\Omega;\mathcal{S};P)$ ist noch sehr abstrakt geblieben. Wie können wir von hier aus die Brücke zu praktischen Problemen schlagen und vor allem, wie können wir Wahrscheinlichkeiten für ganz reale, nicht triviale Probleme berechnen?

Dazu werden wir den abstrakten Raum Ω in den uns vertrauten $\mathbb{R}^{1}$ abbilden, und zwar so, dass wir auch dort Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten definieren können, die aber die Struktur aus $(\Omega;\mathcal{S};P)$ im Wesentlichen bewahren. Wir hatten in Kap. 36 Merkmale definiert als Abbildung der Objekte in einen Merkmalsraum, nun definieren wir Zufallsvariable als Abbildung der Ereignisse in die reellen Zahlen. Einfachstes Beispiel für Zufallsvariable sind absolute und relative Häufigkeiten, Längen, Gewichte und ähnliches. Mithilfe von Zufallsvariablen können wir Wahrscheinlichkeiten für alle Borel-Mengen definieren und so den $\mathbb{R}^{1}$ zu einem Wahrscheinlichkeitsraum erweitern. Durch diesen Kunstgriff steht uns das ganze Werkzeug der reellen Analysis zur Verfügung. Damit gelingt es, den wichtigsten Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie zu beweisen, das Gesetz der großen Zahlen. Mit diesem Gesetz können wir endlich anschaulich erklären, was Wahrscheinlichkeit inhaltlich bedeutet. Nun fängt die Wahrscheinlichkeitstheorie erst richtig an.