Equazioni paraboliche

Estratto

In questo capitolo consideriamo equazioni della forma

$$ \frac{{\partial u}} {{\partial t}} + Lu = f, x \in \Omega ,t > 0, $$

(6.1)

dove Ω è un dominio di ℝ^d, d = 1,2,3, f = f(x,t) è una funzione assegnata, L = L(x) è un generico operatore ellittico agente sull’incognita u = u(x, t); sotto queste ipotesi la (6.1) è un’equazione parabolica. In molti casi si è interessati a risolverla solo per un intervallo temporale finito, diciamo per 0 < t < T. In tal caso la regione Q_T = Ω × (0,T) è detta cilindro nello spazio ℝ^d × ℝ⁺ (si veda la Fig. 6.1). Nel caso in cui T = +∞, Q = {(x,t) : x ∈ Ω, t > 0} sarà un cilindro infinito.