Zusammenfassung
In den vorangehenden Kapiteln haben wir uns mit der Zusammenstellung der grundlegenden Tatsachen aus der Theorie der unendlichen Reihen begnügt. Von nun an stellen wir uns etwas weitere Ziele, wollen tiefer in die Theorie eindringen und zu vielseitigeren Anwendungen übergehen. Dazu nehmen wir zunächst noch einmal die ganz elementar gehaltenen Betrachtungen des III. und IV. Kapitels wieder auf und beginnen mit einer genaueren Untersuchung der beiden Vergleichskriterien I. und II. Art (72 und 73), die wir sofort aus dem ersten Hauptkriterium (70) für die Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Reihen mit positiven Gliedern hergeleitet hatten. Diese und alle verwandten Kriterien wollen wir weiterhin durch eine etwas kürzere Schreibweise zum Ausdruck bringen: ∑c n und ∑d n sollen im folgenden irgendwelche Reihen mit positiven Gliedern bedeuten, deren Konvergenz bzw. Divergenz schon bekannt ist, ∑a n dagegen soll eine Reihe sein — und in diesem Kapitel auch stets mit positiven Gliedern —, die auf ihr Konvergenzverhalten hin untersucht werden soll.
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Literatur
Die Konvergenz und Divergenz der Reihen des obigen Typs war N. H. Abel schon 1827 bekannt, wurde aber von ihm nicht veröffentlicht (Œuvres II, S. 200). Zur Kriterienbildung wurden diese Reihen zuerst von A. de Morgan benutzt (The differential and integral calculus, London 1842). Umformungen dieser ihrem Wesen nach stets auf 164, I und II zurückkommenden Kriterien wurden dann vielfach als besondere Kriterien veröffentlicht, so von J. Bertrand: J. de math. pures et appl. (1) Bd. 7, S. 35. 1842
O. Bonnet: Ebenda (1) Bd. 8, S. 78. 1843
U. Dini: Giornale di matematiche Bd. 6, S. 166. 1868 u.a.
Z.Phys. u. Math. von Baumgarten u. Ettinghausen, Bd. 10, S. 63. 1832.
Vgl. auch J. M. C. Duhamel: J. de math. pures et appl. (1) Bd. 4, S. 214. 1839.
N.H. Abelhatte (J. reine u. angew. Math. Bd. 3, S. 81. 1828) nur die Divergenz von bewiesen; U. Dini (Sulle serie a termini positivi, Ann. Univ. Toscana Bd. 9. 1867) bewies den Satz im obigen Umfange. Erst 1881 wurden Schriften von Abel bekannt (Œuvres II, S. 197), die auch den auf die Konvergenz bezüglichen Teil des obigen Satzes enthalten.
Siehe E. Cesàro: Nouv. Ann. de Math. (3) Bd. 9, S. 353. 1890.
Cauchy: Exercices mathém. Bd. 2, S. 221. Paris 1827.
Für die logarithmische Skala hat dies P. du Bois-Reymond (J. reine u. angew. Math. Bd. 76, S. 88. 1873) gezeigt.
Die obige allgemeinere Antwort rührt von J. Hadamard (Acta mathem. Bd. 18, S. 325. 1894) her.
Hahn, H.: Monatshefte f. Math. u. Phys. Bd. 33. S. 121–134. 1923.
Pringsheim: Mathem. Ann. Bd. 35, S. 342. 1890.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Knopp, K. (1931). Reihen mit positiven Gliedern. In: Theorie und Anwendung der Unendlichen Reihen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 2 . Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-41997-7_10
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