Sur la propagation de la propriété mild au-dessus d’une extension quadratique imaginaire de $\varvec{\mathbb {Q}}$

Résumé

Nous nous intéressons dans ce travail aux pro-p groupes $G_S$, groupes de Galois de pro-p extensions maximales de corps de nombres non ramifiées en dehors d’un ensemble fini S de places ne divisant pas p, et plus particulièrement à la propagation de la propriété mild au-dessus d’une extension quadratique imaginaire. Notre point de départ est le critère de Labute-Schmidt (Schmidt, Doc Math 12:441–471, 2007), basé sur l’étude du cup-produit sur le groupe de cohomologie $H^1(G_S,\mathbb {F}_p)$. Dans un contexte favorable, nous montrons par le calcul que le groupe étudié vérifie souvent une version faible ($LS_f$) du critère de Labute-Schmidt. Un critère théorique est ensuite établi, permettant de montrer le caractère mild de certains groupes auxquels le critère ($LS_f$) ne s’applique pas. Ce critère théorique est enfin appliqué à des exemples pour $p=3$ et comparé aux travaux de Labute et Vogel (Labute, J Reine Angew Math 596:155–182, 2006 et Vogel, Circular sets of primes of imaginary quadratic number fields, 2006).

Abstract

In this work, we are interested in the pro-p groups $G_S$, which are Galois groups of maximal pro-p extensions of number fields unramified outside a finite set S of primes not dividing p. We focus on whether the mildness property is preserved over imaginary quadratic extensions. Our starting point is Labute-Schmidt’s criterion (Schmidt, Doc Math 12:441–471, 2007), based on the study of the cup-product on the first cohomology group $H^1(G_S,\mathbb {F}_p)$. In favourable conditions, we show by computation that the group we study often satisfies a weak version ($LS_f$) of Labute-Schmidt’s criterion. Then, a theoretical criterion is established for proving mildness of some groups to which the ($LS_f$) criterion does not apply. This theoretical criterion is finally illustrated by examples for $p=3$ and compared to Labute and Vogel’s works (Labute, J Reine Angew Math 596:155–182, 2006 et Vogel, Circular sets of primes of imaginary quadratic number fields, 2006).

Calcul local des cup-produits et critère (\(\mathbf{LS}_\mathbf{f}\)): philosophie du code Pari-GP

1.1 Premiers auxiliaires

Soit S un ensemble fini de premiers de K de normes congrues à 1 modulo p. On rappelle que pour un élément v de S, le premier auxiliaire $p_v$ est choisi tel que:

• $p_v$ est inerte dans l’extension $K_{v}^{p,el}|K$,

• $p_v$ est totalement décomposé dans l’extension $K_{w}^{p,el}|K$ pour $w\in S, w\ne v$.

Il s’agit donc en fait de calculer la ramification d’un premier $p_v$ de K dans une extension p-élémentaire $K_w^{p,el}$ de K pour $w\in S$. Par définition, $p_v$ est ramifié dans l’extension $K_w^{p,el}|K$ si et seulement si $p_v$ est égal à w. Dans les autres cas on utilise la théorie du corps de classes: le symbole d’Artin donne un isomorphisme entre le groupe de Galois de l’extension $K_w^{p,el}|K$ et le corps de classes de K de rayon w, noté L, donné par L=bnrinit(K,w,0). On calcule alors l’image du Frobenius de $p_v$ dans la p-partie du groupe de classes de K de rayon w :

Si Fpv est le vecteur nul, alors $p_v$ est décomposé dans $K_w^{p,el}$, sinon $p_v$ est inerte dans $K_w^{p,el}$. Il suffit ensuite de tester systématiquement les premiers de K jusqu’à en trouver un qui convienne, $p_v=$ praux(K,S,p,v).

Remarque 11

Si le corps de base est $\mathbb {Q}$, il est plus efficace d’utiliser le code suivant:

qui renvoie 0, 1 ou $-1$ suivant si le premier $p_v$ est décomposé, inerte ou ramifié dans l’extension $\mathbb {Q}_w^{p,el}|\mathbb {Q}$.

1.2 Calcul local des cup-produits

Soient v, w deux éléments de S. D’après la proposition 2, le linking number $l_{vw}$ est donné par l’égalité $F_v=F_{p_w}^{l_{vw}}$ dans le groupe de Galois $\mathrm {Gal}(K_w^{p,el}|K)$, où $p_w$ est le premier auxiliaire associé à w et $F_v$, $F_{p_w}$ sont les Frobenius de v et $p_w$. Là encore on utilise le symbole d’Artin pour comparer non pas les Frobenius eux-même, mais leurs images dans le groupe des classes de K de rayon w.

On obtient ainsi la composante locale en w du cup-produit $\widetilde{\chi }_w\cup \widetilde{\chi }_v$, ce qui permet de construire une matrice $Cup=$ cupproduits(K,S,p) renseignant chacune des composantes locales (en colonnes) de chacun des cup-produits (en ligne) de la famille $\{\widetilde{\chi }_v,v\in S\}$.

1.3 Critère ($LS_f$)

Une fois les cup-produits calculés localement, on peut écrire une fonction candidats(K,S,p) renvoyant la liste V des ensembles V[i] d’éléments de S dont les cup-produits associés sont tous nuls. En reprenant les notations de la proposition 3, on aura à i fixé $t=$ #V[i] et $\{v_j,1\leqslant j\leqslant t\}=$ V[i]. Il reste alors à extraire de Cup=cupproduits(K,S,p) la sous-matrice C puis à tester si elle vérifie la deuxième condition de la proposition 3 (la première étant vérifiée par construction). La commande suivante donne la liste des décompositions $S=\mathcal {V}\cup \mathcal {U}$ pour lesquelles le corps K vérifie le critère de Labute-Schmidt par rapport à S.