Vanishing and non-vanishing theta values

Abstract

For a primitive Dirichlet character $\chi$ of conductor $N$ set

$$\begin{aligned} \Theta (\chi )=\sum _{n\in \mathbb Z } n^\epsilon \chi (n)\,e^{-\pi n^2/N} \end{aligned}$$

(where $\epsilon =0$ for $\chi$ even, $\epsilon =1$ for $\chi$ odd), the value of the associated theta series at its point of symmetry under the modular transformation $\tau \rightarrow -1/\tau$. These numbers are related by $\Theta (\chi )=W(\chi )\Theta (\bar{\chi })$ to the root number of the $L$-series of $\chi$ and hence can be used to calculate the latter quickly if they do not vanish. We describe experiments showing that $\Theta (\chi )\ne 0$ for all $\chi$ with $N\le 52{,}100$ (roughly 500 million primitive characters) except for precisely two characters (up to $\chi \rightarrow \bar{\chi }$), of conductors $300$ and $600$. The proof that $\Theta (\chi )$ vanishes in these two cases uses properties of Ramanujan’s modular function of level $5$. We also characterize all $\chi$ for which $W(\chi )$ is a root of unity and describe some experimental results concerning the algebraic numbers $\Theta (\chi )/\eta (i)^{1+2\epsilon }$ when $N$ is prime.

Résumé

Pour tout caractère de Dirichlet $\chi$ de conducteur $N$ on pose

$$\begin{aligned} \Theta (\chi )=\sum _{n\in \mathbb Z } n^\epsilon \chi (n)\,e^{-\pi n^2/N} \end{aligned}$$

(où $\epsilon =0$ pour $\chi$ pair, $\epsilon =1$ pour $\chi$ impair), qui est la valeur de la série thêta correspondante à son point de symétrie par la transformation modulaire $\tau \rightarrow -1/\tau$. Ces quantités sont reliées à la constante $W(\chi )$ de l’équation fonctionelle de la fonction $L$ associée à $\chi$ par la formule $\Theta (\chi )=W(\chi )\Theta (\bar{\chi })$, et donc peuvent être utilisées pour calculer rapidement cette constante si elles ne s’annulent pas. Nous montrons que $\Theta (\chi )\ne 0$ pour tout $\chi$ tel que $N\le 52{,}100$ (approximativement 500 millions de caractères primitifs), à l’exception d’exactement deux caractères (à conjugaison complexe près) de conducteurs $300$ et $600$. La preuve de l’annulation de $\Theta (\chi )$ dans ces deux cas utilise des propriétés de la fonction modulaire de Ramanujan de niveau $5$. Nous donnons aussi une caractérisation de tous les $\chi$ pour lesquels $W(\chi )$ est une racine de l’unité et présentons des résultats expérimentaux sur les nombres algébriques $\Theta (\chi )/\eta (i)^{1+2\epsilon }$ pour $N$ premier.