On optimal control of capital injections by reinsurance and investments

Abstract

This is a review paper on the optimal control of capital injections by reinsurance and investments. We will focus on the two most popular models for the surplus process of an insurer: a classical risk model and its diffusion approximation. Both models are modified by the possibility of reinsurance and investments into a risky or riskless asset. The insurer is allowed to change the amount to be invested and the retention level of the reinsurance continuously, i.e. we consider dynamic reinsurance and investment strategies. In addition, the cedent has to inject capital in order to keep the surplus positive. As a risk measure we choose the value of the expected discounted capital injections. The problem is to minimize the expected discounted capital injections over all admissible reinsurance and investments strategies and to find the optimal strategy if it exists. A detailed discussion of the topic can be found in my doctoral thesis “Optimal Control of Capital Injections by Reinsurance and Investments” (Eisenberg in Optimal control of capital injections by reinsurance and investments. PhD thesis, Universität zu Köln, 2010), which is the Gauss prize winning paper of 2009.

Zusammenfassung

Der vorliegende Review-Artikel befasst sich mit der optimalen Kontrolle der Kapitalzuführungen durch Rückversicherung und Investitionen.

Wir betrachten die beiden beliebtesten Modelle in der Risikotheorie: das klassische Risikomodell und Diffusionsapproximationen. Die beiden Modelle werden durch die Möglichkeit der Rückversicherung bzw. der Investition in eine risikobehaftete oder risikolose Anlage erweitert.

Der (Erst-)Versicherer hat die Möglichkeit den zu investierenden Betrag und das Selbstbehaltniveau jederzeit zu ändern, d.h. wir betrachten dynamische Rückversicherungs- und Investitionsstrategien. Damit der Überschussprozess nichtnegativ bleibt, muss der Zedent Kapitalzuführungen tätigen. Als Risikomß wählen wir den Wert der erwarteten diskontierten Kapitalzuführungen. Die Problemstellung ist die erwarteten diskontierten Kapitalzuführungen über die Menge aller zugelassenen Rückversicherungs- und Investitionsstrategien zu minimieren und die optimale Strategie zu finden, falls diese existiert. Eine detailierte Behandlung dieses Themas findet sich in meiner Doktorarbeit „Optimal Control of Capital Injections by Reinsurance and Investments“, welche mit dem Gaußpreis 2009 ausgezeichnet wurde.