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Über Eulers Bemerkungen zur Primzahlverteilung

  • MATHEMATIK IN PHILOSOPHISCHER UND HISTORISCHER SICHT
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Mathematische Semesterberichte Aims and scope Submit manuscript

Multi pertransibunt et augebitur scientia. (Œuvres de Fermat, Vol. II, S. 211)

Abstract

We reconsider Euler’s observations on very big primes and on the distribution of primes. Our main objective is to suggest a reasonable interpretation of two rather puzzling remarks of his on the distribution of primes which have caused some confusion in the literature.

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Notes

  1. Bei der Angabe des vermutlichen Geburtsjahres von Fermat folgen wir K. Barner, Mitt. DMV 15, H.1, 12–14 (2007) und NTM (N.S.) 9, No. 4, 209–228 (2001).

  2. Unter Goldbachs Leitung erzielte der russische Chiffrierdienst im Kollegium für auswärtige Angelegenheiten im Jahre 1744 einen spektakulären Erfolg, der in die Geschichte der Kryptographie eingegangen ist ([12], S. 86).

  3. In späteren Untersuchungen bestimmt Euler mehrere wesentlich größere Primzahlen, z. B. \(2^{31} - 1 = 2\,147\,483\,647\); s. Vorwort des Herausgebers in [4].

  4. Nach Langenscheidts Großwörterbuch Lateinisch–Deutsch läßt der Begriff multitudo folgende Übersetzungen zu: „Menge“, „große Zahl“, „bedeutende Masse“, bsd. „große Menge“.

  5. Ebenso wie Euler bezeichnet auch Rudio den natürlichen Logarithmus von \(x> 0\) mit lx.

  6. Hinweis eines Referenten.

  7. Euler bezeichnet a.a.O. die Größen \(P, Q, R, S\) für \(n = 1\) mit \(A,B,C,D\).

  8. A. a. O., S. 244 fehlt in der letzten harmonischen Reihe der Term \(\frac{1}{6}\).

  9. Hier sollte k anstelle von m folgen, da wenig später von \(\sum \frac{1}{k}\) die Rede ist.

  10. Er bemerkt lediglich: „Daß der numerus numerorum primorum omnium huius formae \(a^2 + 1\) infinite magnus sei, halte ich für gewiß, ohngeachtet ich es nicht alsofort demonstrieren kann...“

Literatur

  1. Dudley, U.; Erdös, P.: Some remarks and problems in number theory related to the work of Euler. Math. Magazine 56, 292–298 (1983)

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  3. Euler, L.: Commentationes arithmeticae, Vol. I. (Edidit F. Rudio.) Opera omnia, Ser. I, Vol. 2. Leipzig–Berlin: Teubner (1915)

  4. Euler, L.: Commentationes arithmeticae, Vol. II. (Edidit F. Rudio.) Opera omnia, Ser. I, Vol. 3. Leipzig–Berlin: Teubner (1917)

  5. Euler, L.: Commentationes arithmeticae, Vol. III. (Edidit R. Fueter.) Opera omnia, Ser. I, Vol. 4. Zürich–Leipzig: Orell Füssli; Leipzig–Berlin: Teubner (1941)

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  1. Mathematisches Institut, Westf. Wilhelms-Universität Münster, Einsteinstr. 62, 48149, Münster, Deutschland

    Jürgen Elstrodt & Falko Lorenz

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  1. Jürgen Elstrodt
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  2. Falko Lorenz
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Elstrodt, J., Lorenz, F. Über Eulers Bemerkungen zur Primzahlverteilung. Math Semesterber 62, 131–142 (2015). https://doi.org/10.1007/s00591-015-0150-z

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