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Notes
Il existe aussi l’Epistola Leonardi ad Magistrum Theodorum phylosophum domini Imperatoris (Lettre de Léonard à Maître Théodore, philosophe de l’Empereur), où est résolu un problème linéaire indéterminé connu sous le nom de « problème d’oiseaux», modèle permettant de résoudre des problèmes d’alliage de monnaies. Certains historiens des sciences incluent cette « lettre» dans le Flos. Édition de référence dans (Fibonacci 1845a, 44–49), traduction italienne dans (Picutti 1983, 332–336).
Flos Leonardi Bigolli pisani super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et geometriam, vel ad utrumque pertinentium (La fleur de Leonardo bigollo pisano sur les solutions de problèmes sur les nombres et la géométrie, ou relatifs aux deux à la fois). Édition de référence dans (Fibonacci 1845a). Traduction italienne dans (Picutti 1983).
Les différentes positions sur la datation de ces ouvrages sont récapitulées dans (Burattini et al. 2012, 80–84).
D’autres chercheurs s’en sont préoccupés et nous renvoyons à leurs articles et ouvrages. Lire, notamment dans (Burattini et al. 2012, 115–125), l’appendice II où est donnée une édition critique du prologue suivie de commentaires. Dans ces pages sont discutées les différentes traductions de ce prologue effectuées auparavant.
La biographie la plus récente est, à notre connaissance, (Caianiello 2014).
Cum genitor meus a patria publicus scriba in duana Bugee pro pisanis mercatoribus ad eam confluentibus constitutus preesset, me in pueritia mea ad se venire faciens, inspecta utilitate et commoditate futura, ibi me studio abbaci per aliquot dies stare voluit et doceri. Ubi ex mirabili magisterio in arte per novem figuras Indorum introductus, scientia artis in tantum mihi pre ceteris placuit et intellexi ad illam, quod quicquid studebatur ex ea apud Egyptum, Syriam, Greciam, Siciliam et Provinciam cum suis variis modis, ad que loca negotiationis causa postea peragravi... (Fibonacci 1857, 1). Dans ce passage, nous avons remplacé « tam» de (Fibonacci 1857, 1) par « causa» dans causa postea peragravi, qui figure dans certains manuscrits et nous paraît plus cohérent. Voir (Burattini et al. 2012, 115–125).
Selon G. Jehel, « c’est à Bougie que l’on a mis en évidence l’existence d’un organe administratif préfigurant le consulat génois dès 1164, qui est identifié par le terme de scribania dans les textes latins et qui est devenu par la suite le secrétariat ou la chancellerie du consulat», (Jehel 2001, 122). Voir aussi (Aissani and Valerian 2003, note 2, 10). La fonction de « scribe» aurait précédé celle de consul qu’on voit apparaître plus tard au Maghreb; le rôle du « scribe» est sans doute administratif et diplomatique.
Sur l’importance de la contribution d’al-Qurashī pour l’époque, voir (Djebbar 2005, 80–82).
Sur les monnaies citées, voir (Blancard 1876; Spufford 1988, par ex., 179; Jehel 2001, 103–180; Bresc 2002). Le massamutinus (ou maximutinus, masmodina, morabetinus, etc.) est une monnaie d’or en vigueur dans les pays « sarrasins». Dans le glossaire du Sieur du Cange, l’entrée est à « Masmodina: moneta saracenor» (Du Cange et al. 1883, t.5, col. 295a). Le Byzanteus (bis-, bes-) est une monnaie d’or byzantine (Niermeyer et al. 1976, 99).
Dans la suite, pour les unités de monnaie ou de mesure, lorsqu’il n’y a pas d’équivalent français d’usage courant, nous conservons le terme latin en italique, toujours au nominatif singulier.
Voir, en particulier, le chapitre 8, (Fibonacci 1857, 83–118).
Sur les produit échangés, voir (Jehel 2001).
De cantare lini vel alterius cuiuslibet mercis, que venditur in Suria vel in Alexandria (Fibonacci 1857, 94).
De miliario olei Constantinopolis (Fibonacci 1857, 94).
Questio de eadem re nobis apud Constantinopoli a quodam magistro proposita (Fibonacci 1857, 190).
De homine qui ad vendendum tres margaritas Constantinopoli properavit (Fibonacci 1857, 203).
Ex his superficialibus mensuris quidam in multiplicando colligunt quandam quantitatem, quam vocant iugerum, vel aripennium, sive carrucam, sive tornaturam, vel culturam, vel alias quantitates, que aliis censentur vocabulis. Ego vero, secundum pisanorum incedere volens consuetudinem, a pertica summam initium. Pertica pisana linealis, sex linealibus pedibus constat: pes vero linealis decem et octo punctis linealibus constat. [...] Sexaginta nempe, et sex pertice quadrate faciunt mensuram quandam, que vocatur stariorum, ad quam venduntur, et emuntur agri in episcopatu pisano, et ad quam mensuram colligere embada, hoc est areas camporum monstrabo (Fibonacci 1862, 3).
Potes enim per modum suprascriptum multiplicandi doctrinam reperire modum multiplicandi in aliis regionibus, secundum diversitates mensurarum ipsarum (Fibonacci 1862, 3).
Cum itaque campum rotundum, idest circulum, mensurare desideras [...] « Aussi, lorsque tu désires mesurer un champ rond, c’est-à-dire circulaire [...]» (Fibonacci 1862, 86).
Vel si secundum pisanum modum mensurare desideras, dyametrum in se multiplica; et quod provenerit diuide per 7, et habebis panora embadi ipsius circuli. (Fibonacci 1862, 86). Le Panorum est une mesure agraire correspondant au douzième du starium (Du Cange et al. 1883, t. 6, col. 141a; Zupko 1981, 185–186).
Comme l’explique Fibonacci lui-même dans son prologue, le cardinal de Viterbe, semble-t-il féru de mathématiques, a demandé une copie de ses ouvrages. Leonard lui dédie alors le Flos qu’il intitule ainsi en l’honneur de son dédicataire qui rayonne, écrit-il, « d’une éloquence fleurie parmi les savants» (Fibonacci 1845a, 1).
Cum coram maiestate vestra, gloriosissime princeps Frederice, magister Johannes panormitanus, phylosophus vester, pisis mecum multa de numeris contulisset, interque duas questiones, que non minus ad geometriam quam ad numerum pertinent, proposuit ... (Fibonacci 1845a, 2). La première question est: trouver un carré tel que, si on lui ajoute ou retranche 5, le résultat est un carré. La deuxième question mène à une équation de degré 3 à solution irrationnelle que Fibonacci résout de manière approchée en s’appuyant sur le Livre X des Éléments d’Euclide.
Voir la lettre de Frédéric II à Michel Scot dans (Haskins 1924, 266–267).
Michel Scot, savant d’origine écossaise, travaille à Tolède au début du \(\hbox {XIII}^{\mathrm{e}}\) siècle où il traduit notamment des ouvrages de l’arabe en latin. Il sera ensuite « astrologue de l’Empereur» et traducteur à la cour (Burnett 1994).
Arabisant, Théodore d’Antioche étudie auprès d’ibn Yūnus mathématiques et philosophie. Il entre au service de Frédéric II entre 1219 et 1238 comme « philosophe de l’Empereur». Ses fonctions englobent de nombreux domaines comme la médecine et l’astrologie (Burnett 1995).
Nous n’avons pas d’informations précises sur ces deux dernières personnalités. « Maître Dominique» serait peut-être Dominique d’Espagne, traducteur à Tolède, présent par la suite à la Cour de Frédéric II (Haskins 1924, 248–249).
Cum Magister Dominicus pedibus celsitudinis vestre, princeps gloriosissime domine F., me Pisis duceret presentandum, occurrens Magister Iohannes panormitanus, questionem mihi proposuit... (Fibonacci 1854b, 55).
Rogasti amice Dominice et reverende magister, ut tibi librum in practica geometriae conscriberem; igitur amicitia tua coactus, tuis precibus condescendens, opus iam dudum inceptum taliter tui gratia edidi [...] (Fibonacci 1862, 1).
[...] ut ipso per lecto, que utilia sunt vestre celsitudinis probitas, resecatis superfluis, reconservet. (Fibonacci 1845a, 44).
Scripsistis mihi domine mi magister Michael Scotte, summe philosophe, ut librum de numero, quem dudum composui, vobis transcriberem [...] (Fibonacci 1857, 1).
« Ceux qui voudront acquérir, à travers ce livre, une bonne pratique de cette science devront s’y appliquer par un usage continuel et un exercice quotidien» (qui per eum huius scientie practicam bene scire voluerint, oportet eos continue usu et exercitio diuturno in eius practicis perstudere) (Fibonacci 1857, 1).
Questio nobis proposita a peretissimo magistro Musco constantinopolitano in Constantinopoli (Fibonacci 1857, 249).
À ce sujet, nous savons par ailleurs que Fibonacci aurait commenté le Livre X des Éléments d’Euclide (commentaire aujourd’hui perdu) (Fibonacci 1845a, 3).
vulgarem consuetudinem, quasi laicali more (Fibonacci 1862, 1).
À ce sujet voir (Moyon 2013), ou plus largement [Moyon (à paraître)].
Ce chapitre montre que Fibonacci connaît à coup sûr le travail du calculateur égyptien sans qu’on sache vraiment si sa source est la version originale en arabe. Cependant aucune version latine de ce texte n’est aujourd’hui attestée avant le XIV\(^{\mathrm{e}}\) siècle, siècle au cours duquel le texte a été traduit en latin. Nous possédons l’autographe du traducteur (ms. BnF, lat. 7337A) dans lequel apparaît, pour cette partie, une note marginale reprenant un passage de Fibonacci (fol. 94r) (Lorch 1993; Sesiano 1993).
L’étude la plus approfondie sur les fractions dans la tradition mathématique des pays d’Islam reste (Djebbar 1992). Même si, dans cet article, Djebbar s’intéresse principalement à la tradition de l’occident médiéval, d’importants éléments sur l’orient musulman peuvent être consultés avec profit. Pour une étude plus large des fractions sur une longue période historique, on peut consulter (Vogel 1982; Benoit et al. 1992).
Ce commentaire est connu de l’historien Ibn Khaldūn au XIV\(^{\mathrm{e}}\) siècle, qui le mentionne explicitement dans sa Muqadimma (Khaldūn 2002, 951).
On entend par al-Andalus la partie de la péninsule ibérique sous domination musulmane. Ses frontières géographiques fluctuent en fonction du pouvoir musulman en place.
Aucune édition complète du texte arabe n’est disponible. Seule une traduction partielle est aujourd’hui réalisée dans (Suter 1901).
En effet, une copie de l’ouvrage a été réalisée à Bagdad en 1194 et aurait appartenu à al-Ṭūsī (Lamrabet 2013, 137). Par ailleurs, nous savons qu’il en existe une traduction hébraïque réalisée à Montpellier en 1271 par Moses ibn Tibbon (m. après 1283) en 1271 (Steinschneider 1893, 557–558; Freudenthal 2011, 34).
Sa présence est par exemple attestée en Égypte à l’époque des Mamelouks (1250–1517) (Djebbar and Moyon 2011, 46).
Andalousien qualifie ce qui se rapporte à l’Andalus (Marín 2000).
Édité dans (Ibn Mun\(^{\mathrm{c}}\)im and Lamrabet 2006).
Incipit capitulum quintum de divisionibus integrorum numerorum (Fibonacci 1857, 23).
Cf. “Appendix 3”, lignes 2–3 et 6.
Minutum est construit à partir du verbe minuo: diminuer.
Virga signifie baguette et virgula, petite baguette. Il est souvent difficile de distinguer le sens du mot virgula de celui du mot fractio.
Cf. “Appendix 3”, lignes 7–15.
Cf. “Appendix 3”, lignes 17.
Cf. “Appendix 3”, lignes 21–40.
Lüneburg fait une étude mathématique très détaillée de ces fractions. Il montre comment Fibonacci les utilise effectivement à travers plusieurs exemples du Liber Abaci (Lüneburg 1991). Dans le livre qu’il consacre au Liber Abaci, les fractions sont décrites dans le chapitre 2 (Lüneburg 1993, 47–88).
Cf. “Appendix 3”, lignes 40–44.
Cf. “Appendix 3”, lignes 44–46.
Cf. “Appendix 3”, lignes 46–48.
Pour Fibonacci, un nombre non premier est dit composé (compositus), ou épipède (epipedus), c’est-à-dire superficiel (superficialis), appellations euclidiennes. S’il est premier, il est dit incompositus ou primus. Fibonacci souligne également que les Arabes nomment ces derniers aṣamm. Mais, un nombre premier est également dit « sans règles» (sine regulis), ce qui correspond dans la langue grecque à l’expression coris canon. D’où l’appellation de nombres réguliers (regularis), ou « avec règles» (cum regulis) pour ceux qui sont composés. Chercher une décomposition de ces nombres est déterminer leur règle (regula). Nous préférons conserver le mot latin pour cette opération bien spécifique. Numerorum quidam sunt incompositi, et sunt illi qui in arismetrica et in geometria primi appellantur. [...] Arabos ipsos hasam appellant. Greci coris canon, nos autem sine regulis eos appellamus. Ex quibus illi qui sunt infra centum, in quadam tabula in sequentibus describuntur. Alios vero primos, qui sunt ultra centum, per regulam invenire docebo. Reliqui vero compositi, vel epipedi, id est superficiales, a peritissimo geometriae Euclide appellantur. Ideo quia componuntur ex multiplicatione aliquorum numerorum, ut duodecim que componuntur ex multiplicatione binarii in 6, vel ternarii in 4, nos autem ipsos regulares numeros apellamus. Et cum dividendi doctrina per primos et compositos non sit eadem, in primis, scilicet per eos qui sunt sine regulis infra centum, quoslibet numeros ipsis maiores existentes dividere ostendamus. « Certains nombres sont non composés, et ce sont ceux qu’on appelle premiers en arithmétique et en géométrie. [...] Les Arabes les appellent « hasam», les Grecs « coris canon», nous aussi nous les appelons « sans règles». Ceux parmi eux qui sont inférieurs à 100 sont inscrits dans une table qui suit. J’enseignerai à trouver à l’aide d’une règle les autres premiers qui sont au-dessus de cent. Ceux qui restent ont été appelés composés, ou épipèdes, c’est-à-dire superficiels, par le très expérimenté Euclide. Et parce qu’ils sont composés par la multiplication de quelques nombres, comme douze qui est composé à partir de la multiplication de deux par 6, ou de trois par 4, nous, nous les appellerons nombres réguliers. Et comme la théorie de la division par des nombres premiers et composés n’est pas la même, nous montrerons comment diviser par les premiers, à savoir par ceux qui sont sans règles et au-dessous de cent.» (Fibonacci 1857, 30–31,36). Le terme aṣamm, de la racine trilitère ṣ-m-m, admet plusieurs significations dont l’une (la moins courante) est « premier» notamment chez Ibn al-Bannā’ (Souissi 1968, 220–221). Quant au syntagme « coris canon» que Fibonacci mentionne comme équivalent grec du latin sine regulis, il est composé du mot chôris (\(\upchi \upomega \uprho \)í\(\varsigma )\), qui signifie « sans», « en dehors de» et le mot canon (\(\upkappa \upalpha \upnu \acute{\upomega }\upnu )\), signifiant « règle», ou bien « table», sans prendre en compte le génitif qui devrait accompagner chôris. Il nous a été impossible de déterminer les raisons qui ont permis à Fibonacci de donner cette référence grecque, d’autant plus que le sens n’est pas sans poser problème, et que là où le grec a un singulier pour canon, Fibonacci indique un étonnant pluriel avec regulis (communication personnelle avec Bernard Vitrac).
C’est à l’image de ce qu’il écrit pour la table de division peu avant (Fibonacci 1857, 25).
Et scias quia ideo multiplicavimus 2 per 3 quando per 2 et per 3 dividere debeamus; quia multiplicatio illorum non surgit ultra decenarium numerum; et sic debes facere de omnibus numeris, quorum multiplicationes non ascendunt ultra decem. [...] Et si per 3 et per 5 numerum aliquem dividere volueris, dividas eam per \(\frac{1\;0}{3\;5}\) : ideo quia multiplicatio de 3 in 5 surgit 15, quia numerus maior est de 10. Unde melius est ut dividas per \(\frac{1\;0}{3\;5}\) quam per 15 (Fibonacci 1857, 48).
Scilicet numeri ex quibus componuntur, et ponantur sub quadam virgula, ut semper minores sequantur maiores versus sinistram, ut supra in hoc eodem capitulo edocetur. Post hoc dividat numerum quem dividere per minorem ex componentibus divisorem, hoc est per minorem numerum vel figura que fuerit sub virgula. Et si aliquid super habundaverit, ponat ipsum super eadem figura vel numerum et exiens numerus ex divisione dividatur per antecedentem numerum vel figuram in virgula, et superfluum, si fuerit, ponat super ipsum antecedentem numerum vel figuram. Et sic semper per ordinem per antecedentes componentes numeros exeuntes ex divisione, donec ad finem ipsarum devenerit, dividere studeat (Fibonacci 1857, 36–37).
Nota siquidem regularum numerorum inventione 5 voluerit quis dividere 749 per 75, reperta regula de 75, que est , dividat 749 per 3, exibunt 249, et remanent 2; que 2 ponat super 3 de virgula in parte servata, et dividat 249 per 5, per ea scilicet que antecedunt 3 in virgula, exeunt 49 et remanent 4; que 4 ponat super eadem 5, et 49 dividat iterum per 5, per ea que sunt in fine virgule, exeunt 9 et remanent 4; que 4 ponat super ipsa 5, et 9 ponat ante ipsam virgulam; et sic habebit ex quesita divisione, ut hic ostenditur, 9 (Fibonacci 1857, 41). Notons qu’il y a une erreur typographique dans (Fibonacci 1857, 41) pour l’écriture de la solution.
Attention, ce n’est pas toujours le cas dans la pratique, voir quelques exemples infra.
Nous retrouvons le même principe de composition de fractions dans certains traités d’abaque, arithmétiques pratiques qui s’appuient aussi sur le système décimal positionnel et qui fleurirent en Italie dès le \(\hbox {XIII}^{\mathrm{e}}\) siècle. L’auteur anonyme du premier traité d’abaque conservé (Florence, ms. Ricc. 2404, daté de 1290 environ) utilise abondamment ces fractions, avec la même notation. Nous devons aussi mentionner l’utilisation de ce type de fractions (modulo le sens d’écriture, de la gauche vers la droite contrairement à ce qu’écrit Fibonacci) dans les versions latines de l’algèbre d’Abū Kāmil, et de son Sur le pentagone et le décagone (cf. supra note 43), alors que les versions arabes n’utilisent aucun symbolisme (Lorch 1993, 224–225; Sesiano 1993, 318–319). Enfin, le Trattato d’aritmetica du célèbre maître Paolo dell’Abbaco (m. 1374) débute par une opération nommée infilzare i rotti [enfiler les rompus], une règle perpetualmente buona: à partir d’une suite de fractions simples, ici \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{3}{4}\), il décrit les calculs permettant d’obtenir le nombre rompu \(\frac{\left( {2\times 2+1} \right) \times 4+3}{3\times 2\times 4}\) égal à \(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\), qui n’est autre que la fraction de genre 2: \(\frac{3\;1\;2}{4\;2\;3}\). En revanche, d’après le manuscrit édité par Arrighi, daté de 1440 environ, l’auteur n’utilise pas de notation spécifique (Paolo dell’Abbaco 1964, 23).
Incipit pars septima de multiplicatione numerorum et ruptorum quorum virge terminantur in circulo (Fibonacci 1857, 61–62).
Si vis 11 et quattuor nonas, et quinque octavas quattuor nonarum, et duas tertias quinque octavarum de quattuor nonis, que sic scribuntur \(\frac{2\;5\;4}{3\;8\;9}\)o 11, multiplicare per 22 et sex septimas octo nonarum ex novem decimis, que sic scribuntur o\(\frac{\!6~8~\,9}{7~9~10}22\) (Fibonacci 1857, 61).
Item carica piperis valet libras 11, et soldos 7, et denarios 5, hoc est \(\frac{57}{1220}11\) libras. Quantum valent ergo libre 127, et \(\frac{1~1~1}{5~4~3}5\) uncie , hoc est \(\frac{\!\underline{1}~\underline{1}~\underline{1}~\,\,5}{5~4~3~12}127\) [...] (Fibonacci 1857, 61). Le second exemple s’intéresse au cantare vendu pour des sous, des deniers et des fractions de deniers (Fibonacci 1857, 92).
Nous traduisons maior guisa par « méthode majeure». Le mot guisa, d’origine germanique, signifie manière, façon. Fibonacci mentionne dans le Liber abaci (Fibonacci 1857, 154) un Liber minoris guise qu’il aurait composé: « il y a une autre manière de faire l’alliage que nous avons enseignée dans le livre de minor guisa» [Est enim alius modo consolandi, quem in libro minoris guise docuimus], mais nous n’avons pas davantage d’informations sur cet ouvrage.
Sic enim debes studere invenire regulas numerorum, quibus divisionem pervenit (Fibonacci 1857, 91).
Cette unité correspond grosso modo au poids de la graine de caroube.
Item libra argenti valet libras 7, et queratur quantum quis inde pro libris 4 habuerit. Descripta itaque questione, multiplicabis 4 per 12, erunt 48, que divides per 7, exibunt uncie \(\frac{6}{7}6\). Nam, si de \(\frac{6}{7}\) unius uncie, quot denarii sint de cantera scire volueris, quia uncia ponderat denarios 25, multiplicabis 6 que sunt super 7, per 25, erunt 150; que divides per 7, exibunt denarii de cantera \(\frac{3}{7}\) 21. Iterum, si de \(\frac{3}{7}\) unius denarii carrubas facere volueris, multiplicabis 3, que sunt super 7, per 6, ideo quia denarius est carrube 6, erunt 18; que divides per 7, exibunt carrube \(\frac{4}{7}2\). Ergo pro illis 4 libris habebis uncias 6, et denarios 21, et carrubas \(\frac{4}{7}\) 2. Nam si hoc, secundum maiorem magisterium, in una tantum multiplicatione et divisione habere volueris, suprascripta 48 multiplica per partes unius uncie, scilicet per numerum denariorum et carrubbarum, hoc est per 25 et per 6, erunt 7200; que divides per \(\frac{1~0~\,0}{\,7~6~25},\) hoc est per \(\frac{1~0~0~0}{7~6~5~5},\) quod est levius, et habebis eandem quantitatem, ut superius in questione describitur. Que vero super 7 devenient sunt partes unius carrubbe, et que super 6 sunt carrubbe, et que super \(\frac{1\;0}{5\;5}\) sunt denarii de cantera, et que extra virgulam, sunt uncie, sicuti sunt ille 12 venditionis, sub quibus describuntur (Fibonacci 1857, 107–108).
1 livre vaut 20 sous et 1 sou vaut 12 deniers.
Carica provincie, que pensat libras 300, venditur pro libris 15 et soldis 7, hoc est pro libris \(\frac{7}{20}15\) , queritur quantum valent libre 86. Multiplica 15 per 20, et adde 7, erunt 307 [...], et multiplica ea per 86, erunt 26,402; que divide per 300 et per 20, hoc est per \(\frac{\!1~0~~0~~0}{\,5~5~12~20},\) exibunt libre \(\frac{\!2~0~\,0~~\,8}{5~5~12~20}4\) pro pretio quesitarum librarum 86 [...].
Sic enim debes studere invenire regulas numerorum, quibus divisionem pervenit, sicuti modo fecimus de 300. Quamvis ipsius regula sit \(\frac{1~~0~~\,0}{\,5~10~10}\), tamen eam esse \(\frac{1~0~\,0}{\,5~5~12}\) posuimus, ut habemus \(\frac{1}{12}\) sicuti habemus \(\frac{1}{20},\) illa scilicet que sunt cum 15 (Fibonacci 1857, 91).
Vel coapta numeros divisionis, ita ut possis habere in capite virgule \(\frac{1\;0}{12\;20},\) ut habeas in una multiplicatione libras et soldos et denarios, ut in prescripta questione operati fuimus, videlicet ut de \(\frac{1~~~0}{10~10}\) facias \(\frac{1~~0}{\,5~20}.\) Et cum de reliquis minutis divisionis, scilicet de \(\frac{1}{2}\) et de \(\frac{1}{9}\) coaptare \(\frac{1}{12}\) non possimus, ideo quod ex eis possimus accipere de compositione de 12 accipiamus, hoc est de regula 9 accipere debemus \(\frac{1}{3},\) et commiscere ipsam \(\frac{1}{3}\) cum \(\frac{1}{2},\) faciunt \(\frac{1}{6}.\) Reliquum vero quod deest nobis de 12, scilicet 2, debemus multiplicare per 22,256, erunt 44,512 que divide per \(\frac{\!1~0~~0~~0}{\,3~5~12~20},\) exibunt \(\frac{\!1~2~~3~~7}{\,3~5~12~20}12\) pro pretio de massamutini \(\frac{1}{9}23\) (Fibonacci 1857, 88).
Dans la citation et dans la suite de notre étude, nous indiquerons par un exposant 1 ou 2 la dimension de l’unité lorsque cela peut prêter à confusion. Par exemple, la perche existe aussi bien pour une mesure linéaire (perche ou perche\(^{1})\) que surfacique (perche\(^{2})\).
1 perche\(^{1}\) = 6 pieds\(^{1}\); 1 denier = 1 pied\(^{1}\) \(\times \) 1 pied\(^{1}\) = \(\frac{1}{36}\) perche\(^{2}\); 66 perches\(^{2}\) = 1 starium; 1 panis = \(\frac{1}{12}\) starium. La regula d’une unité à une autre est alors le coefficient de conversion de celle-ci en celle-là. Par exemple, la regula de la perche\(^{2}\) aux starium est \(\frac{\,1~\,0}{11~6}\) car 1 starium = 66 perches\(^{2}\).
Si volueris multiplicare perticas 13, et pedes 2 per perticas 21 et pedes 3, cum pes sit \(\frac{1}{6}\) unius pertice, pone tot sextas post perticas, quot sunt pedes positi cum ipsis perticis, et habebis perticas \(\frac{2}{6}\) 13 ad multiplicandum per perticas \(\frac{3}{6}\) 21. Pone sextas sub sextis, et perticas sub perticis, ut hic ostenditur. Et pones ex parte 6 bis sub una virga et nihil super sic \(\frac{}{66}\). Et multiplicabis pedes 2 per 3, qui sunt super ambulos 6, erunt 6; quem divide primum 6, qui est ex parte sinistra sub virga, quam modo posuimus, exibit 1, remanet 0. Retines itaque ipsum 1 in manu, et remanens 0 pone super ipsum \(\frac{0~~}{6~6}\) ; et multiplicabis 2, que sunt super 6, per 21; et 3, que sunt super alium 6, per 13 in cruce; et addes multiplicationem eorum cum uno servato, erunt 82; que divide per alium 6, exibunt pertice 13, et remanent 4; pone 4 super ipsum 6, sic: \(\frac{0~4}{6~6}\) et 13 serva in manu; super que adde multiplicationem perticarum 13 in perticas 21, erunt pertice 286; quas divide per \(\frac{\,1~~0}{11~6}\), scilicet per regulam perticarum stariori, exibunt \(\frac{\,\,0~~2}{11~6}4.\) Copula hanc virgulam cum prima, et habebis \(\frac{0~4~\,\,0~\,\,2}{6~6~11~6}4.\) Scias quia cum ita feceris, quicquid extra virgulam comprehenditur, sunt stariora; et super 6, qui est in capite virgula post integrum, sunt dupla panora; et super 11 sunt pertice. Et intelliges unamquamque ipsarum esse soldos 3; et super aliis duobus 6 sunt denari, quos accipies sic: multiplicabis figuram, que est super 6, per alium 6, qui est post ipsum; et addes figuram, que fuerit super ipsum 6. Verbi gratia: pro 4, que sunt extra virgulam, habemus stariora 4, et pro 2, que sunt super 6, habemus panora 4; et pro 4, que sunt super alium 6, habemus soldos 2, quia multiplicatio de 4 in 6, et addito zefiro, quod est super ipsum 6, surgit in denariis 24 (Fibonacci 1862, 11–12). Boncompagni, suivant la lecture du manuscrit qu’il édite (Bibl. Apost. Vatic., ms. Vat. Urb. Lat. 292), indique: \(\frac{\,\,0~~2}{11~6}4\) et \(\frac{0~4~~0~~2}{6~6~11~6}4\) pour les deux dernières fractions de la citation. Parmi les manuscrits connus de la Practica geometriae, la grande majorité donne la lecture précédente. Parmi les sept manuscrits que nous avons consultés, un seul (Paris, Bibliothèque Nationale de France, ms. lat. 7 223, XV\(^{\mathrm{e}}\) s.) donne la lecture que nous proposons.
(Fibonacci 1857, 166–318).
Dans (Goetzmann 2003, 30–31), l’auteur décrit ces problèmes et analyse la contribution de Fibonacci à l’histoire des mathématiques financières.
De duplicatione scacherii et quorundam aliarum regularum (Fibonacci 1857, 309).
L’édition de Boncompagni, ainsi que le manuscrit du Vatican (Bibl. Apost. Vatic., ms Palat. Lat. 1343, fol. 115r) donne \(\frac{5\;5\;5}{4\;4\;4}\) pour la fraction qui suit. Le manuscrit de Florence donne la bonne écriture (Bibl. Naz. Centr., ms. Magl., XI.21, fol. 195r).
« Celles-ci» désignent les 100 livres.
Quidam habuit libras 100; ex quibus quolibet anno de 4 faciebat 5 tam de lucro quam de capitali; queritur quot ex eis in decem et octo annis habuerit. Pro 18 annis, scribe sub quadam virgula terminante in circulo a sinistra decem et octo vicibus 4 ; et super quelibet 4 pone 5, ut hic ostenditur: 100o\(\frac{5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5\;5}{4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4\;4}.\) Et hoc facimus, quia in primo anno facit \(\frac{5}{4}\) ipsarum librarum 100, et in secundo facit \(\frac{5}{4}\) de \(\frac{5}{4}\) earumdem, et in tertio facit o\(\frac{5\;5\;5}{4\;4\;4}\) ipsarum 100; que etiam intelligas de reliquis positis annis. Et ideo vel 100 ponende sunt retro post virgam, ut partes ipsius virge denotent partes earum. Deinde multiplica omnes numeros, qui sunt super virga, in se ; quam summam totam multiplica per libras 100, et divides per omnia 4 que sunt sub virga; que omnia sic fiunt levius, videlicet ut multiplices priora 5 per sequentia, erunt 25; que multiplica in se, erunt 625, qui est summa multiplicationis IIII \(^{or}\) quinariorum; que 625 multiplica in se, erunt 390625, que sunt summa multiplicationis octo quinariorum; que multiplica per 5, erunt 1953125; quem numerum multiplica in se, reddunt pro summa omnium quinariorum 3814697265625; que multiplica per 100, et divide postea summa per omnia 4 que sunt sub virga optime coactata, exibunt \(\frac{4\;0\;3\;4\;5\;6\;2\;4\;7\;2\;7\;0}{8\;8\;8\;8\;8\;8\;8\;8\;8\;8\;8\;8}\)5551 pro quesita summa (Fibonacci 1857, 312–313).
References
Aissani Djamil, Dominique Valérian. 2003. Mathématiques, commerce et société à Béjaïa (Bugia) au moment du séjour de Leonardo Fibonacci (XII\(^{{\rm e}}\)-\(\text{ XIII }^{{\rm e}}\) siècles). Leonardo Fibonacci. Matematica e società nel Mediterraneo nel secolo XIII. Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche 2: 9–31.
Allard, André. 1992. Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Le Calcul Indien (Algorismus). Paris, Namur : Blanchard - Société des études classiques.
Benoist-Méchin, Jacques. 1980. Le Rêve le plus long de l’Histoire... Frédéric de Hohenstaufen ou le rêve excommunié 1194–1250. Paris : Librairie académique Perrin.
Benoit, Paul, Karine Chemla, and Jim Ritter. 1992. Histoire de fractions, fractions d’histoire. Bâle: Birkhäuser Verlag.
Blancard, Louis. 1876. Le millares, étude sur une monnaie du \(XIII^{e}\) siècle, imitée de l’arabe par les Chrétiens pour les besoins de leur commerce en pays maure. Marseille: Barlatier-Feissat Père et Fils.
Bresc, Cécile. 2002. Les monnaies arabes des souverains chrétiens (IX\(^{{\rm e}}\)–\(\text{ XIII }^{{\rm e}}\) siècles). Actes des congrès de la Société des historiens médiévistes de l’enseignement supérieur public 33: 177–194.
Brunschvig, Robert. 1940. La Berbérie orientale sous les Hafsides des origines à la fin du \(XV^{e}\) siècle. Paris: Adrien-Maisonneuve.
Burattini, Ernesto, Eva Caianiello, Concetta Carotenuto, Giuseppe Germano, and Luigi Sauro. 2012. Per un’edizione critica del Liber Abaci di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci. In Forme e modi delle lingue e dei testi tecnici antichi, Raffaele Grisolia and Giuseppina Matino, 55–138. Naples: M. D’Auria.
Burnett, Charles. 1994. Michael Scot and the transmission of scientific culture from Toledo to Bologna via the Court of Frederick II Hohenstaufen. Le scienze alla corte di Federico II/Sciences at the Court of Frederick II. Micrologus II: 101–126.
Burnett, Charles. 1995. Master Theodore, Frederick II’s Philosopher. In Federico II e le nuove culture, Atti del XXXI Convegno storico internazionale, Todi, 9–12 ott. 1994, 225–285. Spoleto: Centro italiano di studi sull’alto medioevo.
Caianiello, Eva. 2014. Leonardo of Pisa and the Liber Abaci. Biographical Elements and the Project of the Work. In Scientific sources and teaching contexts throughout history: Problems and perspectives, Alain Bernard and Christine Proust, 217–246. Boston Studies in the Philosophy and History of Science 301. Dordrech: Springer.
Chace, Arnold Buffum. 1979. The rhind mathematical papyrus. Reston: The National Council of Teachers of Mathematics.
Djebbar, Ahmed. 1981. Enseignement et recherche mathématiques dans le Maghreb des \(VIII^{e}\) -\(XV^{e}\) siècles. Orsay : Publications Mathématiques d’Orsay \(\text{ n }{^{\circ }}\)81-02.
Djebbar, Ahmed. 1992. Le traitement des fractions dans la tradition mathématique arabe du Maghreb. In Histoire de fractions, fractions d’histoire, Paul Benoit, Karine Chemla and Jim Ritter, 223–245. Bâle, Boston, Berlin : Birkhäuser Verlag.
Djebbar, Ahmed. 2005. L’algèbre arabe, genèse d’un art. Paris: Vuibert Adapt.
Djebbar, Ahmed, and Marc Moyon. 2011. Les sciences arabes en Afrique: mathématiques et astronomie \(IX^{e}\)–\(XIX^{e}\) siècles. Grandvaux: Manuscrits du désert. Brinon-sur-Sauldre.
Doumerc, Bernard. 2004. Les communes en Italie: \(XII^{e}\)–\(XIV^{e}\) siècle. Toulouse: Presses universitaires du Mirail.
Du Cange, Pierre Carpentier, Louis Henschel, Léopold Favre, and Bénédictins de Saint-Maur. 1883. Glossarium mediæ et infimæ latinitatis. Niort: L. Favre.
Fibonacci, Leonardo. 1952. Le livre des nombres carrés, édité par Paul Ver Eecke. Paris: Blanchard.
Fibonacci, Leonardo. 1854a. Flos. In Tre scritti inediti di Leonardo Pisano, pubblicati da Baldassarre Boncompagni, secondo la lezione di un codice della biblioteca Ambrosiana di Milano, édité par Baldassarre Boncompagni, 1–53. Firenze : tip. di M. Cellini.
Fibonacci, Leonardo. 1854b. Liber quadratorum. In Tre scritti inediti di Leonardo Pisano, pubblicati da Baldassarre Boncompagni, secondo la lezione di un codice della biblioteca Ambrosiana di Milano, édité par Baldassarre Boncompagni, 55–122. Firenze: tip. di M. Cellini.
Fibonacci, Leonardo. 1857. Il liber abbaci, édité par Baldassarre Boncompagni. Rome: Tipografia delle scienze matematiche e fisiche.
Fibonacci, Leonardo. 1862. La practica geometriae di Leonardo Pisano, édité par Baldassarre Boncompagni. Rome: Tipografia delle scienze matematiche e fisiche.
Folkerts, Menso. 1978. Die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache: die Alkuin zugeschriebenen “Propositiones ad acuendos iuvenes.” Denkschriften-Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse 6. Abhandlung. Wien.
Folkerts, Menso. 1997. Die älteste lateinische Schrift über das indische Rechnen nach al-Hwârizmî. Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften.
Folkerts, Menso. 2001. Early texts on Hindu–Arabic calculation. Science in Context 14/1: 13–38.
Folkerts, Menso. 2004. Leonardo Fibonacci’s Knowledge of Euclid’s Elements and of Other Mathematical Texts. Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche 24/1: 93–113.
Fourquin, Guy. 1990. Histoire économique de l’Occident médiéval. Paris: A. Colin.
Freudenthal, Gad. 2011. Science in Medieval Jewish cultures. New York: Cambridge University Press.
Giusti, Enrico. 2002. Matematica e commercio nel Liber abaci. In Un ponte sul Mediterraneo; Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente. Il giardino di Archimede, Enrico Giusti, 59–120. Florence: Edition Polistampa.
Goetzmann, William. 2003. Fibonacci and the Financial Revolution. http://ssrn.com/abstract=461740 (Social Science Research Network Electronic Paper Collection).
Ḥafnāwī (al-). 1982. Ta\(^{c}\) rīf al-Khalaf bi rijāl as-salaf [\(<\)Livre qui\(>\) fait connaître les hommes du passé aux \(<\)générations\(>\) postérieures] Beyrouth, Tunis : Mu’assassat ar-risāla / al-Maktaba al-\(^{{\rm c}}\)atīqa.
Haskins, C.H. 1924. Studies in the history of mediaeval science. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Hughes, Barnabas. 2008. Fibonacci’s De Practica Geometrie. New York: Springer.
Khaldūn, Ibn. 2002. La Muqaddima, traduit par Abdesselam Cheddadi. Paris: Gallimard.
Ibn Mun\(^{{\rm c}}\)im. 2006. Fiqh al-ḥisāb [La science du calcul], édité par Driss Lamrabet. Rabat: Dar al Amane.
Jehel, Georges. 2001. L’Italie et le Maghreb au Moyen Âge: conflits et échanges du \(VII^{e}\) au \(XV^{e}\) siècle. coll. Islamiques. Paris: Presses universitaires de France.
Jehel, Georges, and Philippe Racinet. 2000. Les relations des pays d’Islam avec le monde latin du \(X^{e}\) siècle au milieu du \(XIII^{e}\) siècle. Paris: Editions du temps.
Kunitzsch, Paul. 2003. The Transmission of Hindu-Arabic Numerals Reconsidered. In The Enterprise of Science in Islam : New Perspectives, Jan Peter Hogendijk and Abd al-Hamid I. Sabra, 3–22. Cambridge, MA: The MIT Press.
Kunitzsch, Paul. 2014. al-Ḥaṣṣār’s Kitāb al-Bayān and the Transmission of the Hindu-Arabic Numerals. http://www.muslimheritage.com/article/al-hass%C3%A2rs-kit%C3%A2b-al-bay%C3%A2n-and-transmission-hindu-arabic-numerals.
Lamrabet, Driss. 1981. La mathématique maghrébine au moyen-âge. Bruxelles: Université Libre de Bruxelles.
Lamrabet, Driss. 2013. Introduction à l’Histoire des Mathématiques Maghrébines. Édition à compte d’auteur.
Le Goff, Jacques. 1956. Marchands et banquiers au Moyen Âge. Paris: Presses Universitaires de France.
Léonard de Pise, voir Fibonacci.
Levey, Martin, and Petruck Marvin. 1965. Kūshyār ibn Labbān. Principles of Hindu Reckoning. A translation of the Kitāb fī uṣūl ḥisāb al-hind. Madison: University of Wisconsin Press.
Lorch, Richard. 1993. Abû Kâmil on the Pentagon and the Decagon. In Vestigia Mathematica. Studies in medieval and early modern mathematics in honour of H.L.L. Busard, Menso Folkerts and Jan Peter Hogendijk, 215–252. Amsterdam: Rodopi.
Lüneburg, Heinz. 1991. Fibonaccis aufsteigende Kettenbrüche, ein elegantes Werkzeug mittelalterlicher Rechenkunst. Sudhoffs Archiv 75: 129–139.
Lüneburg, Heinz. 1993. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. Mannheim: Wissenschaftsverlag.
Marín, Manuela. 2000. Al-Andalus et les andalousiens. Aix en Provence: Edisud.
Miura, Nobuo. 1981. The Algebra in the Liber Abaci of Leonardo Pisano. Historia Scientiarum 21: 57–65.
Morelli, Maecello, and Marco Tangheroni (eds.). 1994. Leonardo Fibonacci: Il tempo, le opere, l’eredità scientifica. Pise: Pacini.
Moyon, Marc. (à paraître). La géométrie de la mesure dans les traductions arabo-latines médiévales. coll. De Diversis Artibus. Turnhout: Brepols.
Moyon, Marc. 2013. La géométrie de la mesure en Pays d’Islam et ses prolongements en Europe latine (IXe-XIIIe siècles). In Mesure et Histoire Médiévale. Actes du XLIII\(^{e}\) congrès de la SHMESP, SHMESP (Société des Historiens Médiévistes de l’Enseignement Supérieur Public), 269–280. Paris: Publications de la Sorbonne.
Niermeyer, Jan Frederik, Co van de Kieft, and G.S.M.M. Lake-Schoonebeek. 1976. Mediae Latinitatis lexicon minus: Ab-Zucarum. Leiden: Brill.
Paolo dell’Abbaco. 1964. Trattato d’aritmetica secondo la lezione del codice Magliabechiano XI, 86 della Biblioteca nazionale di Firenze, édité par Gino Arrighi. Testimonia di storia della scienza 2. Pisa: Domus Galilaeana.
Picutti, Ettore. 1983. Il Flos di Leonardo Pisano. Physics 25: 293–387.
Rashed, Roshdi. 1994. Fibonacci et les Mathématiques arabes. Le scienze alla corte di Federico II / Sciences at the Court of Frederick II. Micrologus II: 145–160. http://www.unil.ch/hist/fr/home/menuinst/publications/micrologus.html.
Rommevaux, Sabine. 2008. Fibonacci’s De practica geometrie edited and translated by Barnabas Hughes. Aestimatio 5(17/33): 152–156.
Sesiano, Jacques. 1993. La version latine médiévale de l’Algèbre d’Abū Kāmil. In Vestigia Mathematica. Studies in medieval and early modern mathematics in honour of H.L.L. Busard, Menso Folkerts and Jan Peter Hogendijk, 315–452. Amsterdam: Rodopi.
Sigler, Laurence E. 2002. Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer.
Souissi, M. 1968. La langue des mathématiques arabes. Tunis: Publications de l’Université de Tunis.
Spiesser, Maryvonne. 2004. Fibonacci’s Liber Abaci. A translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. Gazette des Mathématiciens 101: 106–110.
Spufford, Peter. 1988. Money and its use in medieval Europe. Cambridge: Cambridge University Press.
Steinschneider, Moritz. 1893. Die hebraeischen Uebersetzungen des Mittelalters und die Juden als Dolmetscher. Berlin: Bibliographisches Bureau.
Suter, Heinrich. 1901. Das Rechenbuch des Abû Zakarijâ el-Ḥaṣṣâr. Bibliotheca mathematica : Zeitschrift für Geschichte der mathematischen Wissenschaften 3: 12–40.
Tangheroni, Marco. 2002. Pisa e il Mediterraneo all’epoca di Fibonacci. In Un ponte sul Mediterraneo; Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente. Il giardino di Archimede, Enrico Giusti, 45–58. Firenze: Polistampa.
Tropfke, Johannes. 1980. Geschichte der Elementar Mathematik, I - Arithmetik und Algebra. \(4^{{\rm e}}\) édition revue par Kurt Vogel Karin Reich et Helmuth Gericke. Berlin: De Gruyter.
Uqlīdisī (al-), Abū l-Ḥasan Aḥmad ibn Ibrāhīm. 1985. al-Fuṣūl fī l-ḥisāb al-hindī [Les sections sur le calcul indien]. Alep: Institut d’Histoire des Sciences Arabes.
Valerian, Dominique. 2005. Les marchands latins dans les ports musulmans méditerranéens: une minorité confinée dans des espaces communautaires? Revue des mondes musulmans et de la Méditerranée 107–110: 437–458.
Valerian, Dominique. 2006. Bougie, port maghrébin, 1067–1510. Rome: École française de Rome.
Vogel, Kurt. 1982. Zur Geschichte der Stammbrüche und der aufsteigenden Kettenbrüche. Sudhoffs Archiv 66: 1–19.
Zemouli, Touhami. 1993. Al- \(A^{{\rm c}}\) māl ar-riyyādiyya li Ibn al-Yāsamīn [L’œuvre mathématique d’Ibn al-Yāsamīn]. Alger: École Normale Supérieure Alger-Kouba, Magistère d’Histoire des Mathématiques.
Zupko, Ronald Edward. 1981. Italian weights and measures from the middle ages to the nineteenth century. Philadelphia: American Philosophical Society.
Manuscrits consultés
Florence, Biblioteca Nazionale Centrale, ms. Magl., XI.21 (\(14^{{\rm e}}\) s.), fol. 1–285, Liber abaci.
Florence, Biblioteca Riccardiana, ms. Ricc. 2404 (\(13^{{\rm e}}\) s.), fol. 1r–136v, Traité d’abaque anonyme.
Paris, Bibliothèque Nationale de France, ms. BnF Lat. 7337A (\(14^{{\rm e}}\) s.), fol. 71v–97r, Version latine de l’algèbre d’Abū Kāmil, incluant Sur le pentagone et le décagone.
Paris, Bibliothèque Nationale de France, ms. BnF Lat. 7223 (\(15^{{\rm e}}\) s.), fol. 1r–188r, Practica geometriae.
Paris, Bibliothèque Nationale de France, ms. BnF Lat. 10 258 (\(17^{{\rm e}}\) s.), pp. 1–349, Practica geometriae.
Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, ms. Vat. Urb. Lat. 292, fol. 1r–146r, Practica geometriae.
Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, ms. Vat. Lat. 4 962 (\(15^{{\rm e}}\) s.), fol. 4r–167r, Practica geometriae.
Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, ms. Vat. Lat. 11 589 (\(16^{{\rm e}}\) s.), fol. 1r–185v, Practica geometriae.
Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, ms. Ott. Lat. 1 545 (\(17^{{\rm e}}\) s.), fol. 2r–341v, Practica geometriae (début).
Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, ms. Ott. Lat. 1546 (\(17^{{\rm e}}\) s.), fol. 2r–375v, Practica geometriae (fin).
Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, ms. Urb. Lat. 259 (\(17^{{\rm e}}\) s.), 175 ff., Practica geometriae.
Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, ms. Palat. Lat. 1343 (fin \(13^{{\rm e}}\) s.), fol. 1–174, Liber abaci.
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Appendix
Appendix
1.1 Appendix 1: Les quinze chapitres du Liber abaci
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Prologue (p. 1–2)
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Chapitres 1 à 7: numération et opérations sur les entiers, les fractions et les sommes d’entiers et fractions (p. 2–83 : env. 80 p.)
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Ch. 1. Numération, écriture et lecture des nombres entiers (p. 2–5)
-
Table d’addition et de multiplication (p. 6)
-
Ch. 2. Multiplication des nombres entiers (pp. 7–18)
-
Ch. 3. Addition des entiers (pp. 18–22)
-
Ch. 4. Soustraction des entiers (p. 22)
-
Ch. 5. Division des entiers (pp. 23–47)
-
Ch. 6. Multiplication des nombres formés d’entiers et de fractions (pp. 47–63)
-
Ch. 7. Addition, soustraction et division des nombres formés d’entiers et de fractions. Réduction de fractions en fractions unitaires (p. 63–83)
-
Chapitres 8 à 11 : règles et problèmes relatifs au commerce (env. 80 p.)
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Ch. 8. Achat et vente de marchandises (pp. 83–118)
-
Ch. 9. Troc, monnaies de billons et autres règles (pp. 118–135)
-
Ch. 10. Sociétés commerciales (pp. 135–143)
-
Ch. 11. Loi des monnaies (pp. 143–166)
-
Chapitres 12 et 13: problèmes variés, sur les suites et les rapports de nombres, pseudo-concrets et récréatifs (pp. 166–352: env. 185 p.)
-
Ch. 13. Règles de double fausse position (pp. 318–352)
-
Chapitres 14 et 15 (env. 106 p.)
-
Ch. 14. Racines carrées et cubiques, calculs sur les radicaux (pp. 352–387)
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Ch. 15. Proportions, problèmes de géométrie et questions d’algèbre (pp. 387–459)
1.2 Appendix 2: Plan détaillé du chapitre 5 sur la division des entiers
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Préalable à la division: savoir « de quelle manière on écrit parfaitement les minutes des nombres».
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Les différentes sortes de fractions
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Table de division par 2 jusqu’à 13
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Division par des nombres à 1 chiffre (primus gradus)
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Règle, exemples
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Extension à 11, 13
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Division par les mêmes nombres “avec les mains et le cœur” (par cœur)
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Division par des nombres premiers à 2 chiffres (secundus gradus)
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(Définition des nombres non composés et composés)
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Décomposition de nombres composés en produits de facteurs
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Tableau de décomposition des nombres composés de deux chiffres
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Règle pour trouver la composition des nombres impairs; puis des nombres pairs
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Exemples de division par des nombres composés qui se factorisent en produits de nombres comportant 1 ou 2 chiffres
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Division par des nombres premiers à 3 chiffres (tertius gradus)
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Division par des nombres premiers de plus de 3 chiffres
1.3 Appendix 3: Texte latin de présentation des genres de fractions d’après (Fibonacci 1857, 23–25)
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1
Incipit capitulum quintum de divisionibus integrorum numerorum.
Volentibus scire dividere quoslibet numeros per quoslibet numeros, necessarium est eis ut addiscant prius dividere omnes numeros per numeros qui sunt a binario usque in decenarium; et cum hoc scire non possint, donec quasdam introductiones divisionum
-
5
quorumdam numerorum per ipsos cordetenus, sciant quorum divisiones in sequentibus paginis in tabulis declarantur. Sed et doceatur primum qualiter cuncta minuta numerorum perfecte scribantur. /p.24/ Cum super quemlibet numerum quedam virgula protracta fuerit, et super ipsam quilibet alius numerus descriptus fuerit, superior numerus partem vel partes inferioris numeri affirmat; nam inferior denominatus, et superior denominans appellatur. Ut
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10
si super binarium protracta fuerit virgula, et super ipsam unitas descripta sit, ipsa unitas unam partem de duabus partibus unius integri affirmat, hoc est medietatem sic \(\frac{1}{2}\) et super ternarium ipsa unitas posita fuerit sic \(\frac{1}{3}\) denotat tertium; et si super septenarium sic \(\frac{1}{7}\) septimam; et si super 10 decimam; et si super 19, nonamdecimam partem unius integri affirmat, et sic deinceps. Item si binarius super ternarium extiterit sic \(\frac{2}{3}\), duas partes de tribus
-
15
partibus unius integri affirmat, hoc est duas tertias. Et si super 7 duas septimas sic \(\frac{2}{7}\) et si super 23 duas vigesimas tertias denotabunt, et sic deinceps. Item si septenarius super novenarium positus fuerit sic \(\frac{7}{9}\) septem, novenas unius integri affirmant; et si 7 super 97, septem nonagesimas septimas denotabunt. Item 13 posita super 29, tredecim vigesimas nonas affirmant. Et si 13 sunt super 347, tredecim trecentesimas quadragesimas septimas
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20
indicabunt, et sic de reliquis numeris est intelligendum.
Item si sub una eadem virgula plures numeri positi fuerint, et super unum quemque ipsorum alii numeri describentur, numerus qui in capite virgule dextere partis super numerum positus fuerit ipsius, sub positi numeri partem vel partes ut prediximus denotabit. Qui vero super secundum ipsius secundi partes de partibus primi sub positi numeri declarat. Qui autem
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super tertium, ipsius tertii partes partium secundi de partibus primi affirmat, et sic semper qui sequentur super virgulam partes partium cunctorum antecedentium sub virgula denotant, ut si sub quadam virgula fiat 2 et 7 et super 2 sit l et super 7 sint 4 ut hic cernitur, denotantur quattuor septime, et medietas unius septime. Si autem super 7 esset zephyrum sic \(\frac{1\;0}{2\;7}\) medietas tantum unius septime denotaretur. Item sub quadam alia virgula sint 2 et 6 et 10;
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et super 2 sit l; et super 6 sint 5 et super 10 sint 7 ut hic ostenditur \(\frac{\!1~5~\,7}{\,2~6~10}\) septem que sunt super 10 in capite virgule representant septem decenas, et 5 que sunt super 6 denotant quinque sextas unius decime partis, et 1 quod est super 2 denotat medietatem sexte unius decime partis, et sic singulariter de singulis intelligatur: tamen monendum est ut semper minores numeri sint versus sinistram sub eadem virgula: sed si plures fuerint virgule rupti
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unius virgule non respondent ruptis alterius, et illa virgula que est maior pars integri, semper est ponenda versus dexteram manum. Dicuntur quidem fractiones, que sunt in una virga, esse in gradibus, et est primus gradus earum fractio, que est in capite virge a dextera parte. Secundus est fractio sequens versus sinistram partem. Verbi gratia in suprascripta virga, scilicet in \(\frac{\!1~5~\,7}{2~6~10}\) sunt \(\frac{7}{10}\) in primo gradu ipsius virge et \(\frac{5}{6}\) sunt in secundo, et \(\frac{1}{2}\) est in tertio,
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hoc est in ultimo gradu eiusdem virge, et sic quot sunt numeri sub virga, tot sunt gradus eiusdem. Et si in virga fuerint plures rupti, et ipsa virga terminaverit in circulo, tunc fractiones eius aliter quam dictum sit denotabunt, ut in hac \(\frac{2\;4\;6\;8}{3\;5\;7\;9}\)o cuius virge fractiones denotant, octo nonas
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unius integri, et sex septimas de octononis, et quattuor quintas sex septimarum de octo nonis et duas tertias quattuor quintarum sex septimarum de octo nonis unius integri. Et si hec virga terminaret ab alia parte in circulo sic o\(\frac{8\;6\;4\;2}{9\;7\;5\;3}\) denotaret tantum duas tertias de quattuor quintis de sex septimis de octo nonis unius integri. Item si virgule protraherentur super virgam in hunc modum \(\frac{\underline{1} \; \underline{1} \; \underline{1} \; 5}{5 \;4 \; 3 \; 9}\), denotant fractiones eius quinque nonas et tertiam et /p.25/ quartam et quintam unius none. His itaque intellectis, introductiones
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predicte, ut inferius cernitur, describantur, cum cordetenus summo studio addiscantur.
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Moyon, M., Spiesser, M. L’arithmétique des fractions dans l’œuvre de Fibonacci: fondements & usages. Arch. Hist. Exact Sci. 69, 391–427 (2015). https://doi.org/10.1007/s00407-015-0155-y
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