Cyclotomie et formes quadratiques dans l’œuvre arithmétique d’Augustin-Louis Cauchy (1829–1840)

Abstract

Augustin-Louis Cauchy publie une majorité de ses recherches arithmétiques entre 1829 et 1840. Celles-ci ne sont pourtant qu’évoquées dans certaines histoires de la théorie des nombres centrées sur les lois de réciprocité ou sur la théorie des nombres algébriques. Elles y sont décrites comme contenant quelques résultats similaires à ceux de Gauss, Jacobi ou Dirichlet mais de manière incomplète et désordonnée. L’objectif de cet article est de présenter une analyse des textes arithmétiques de Cauchy publiés entre 1829 et 1840 pour montrer qu’ils contiennent au contraire un ensemble cohérent de résultats en lien avec les formes quadratiques $4p^{\mu }=x^2+ny^2$, où $p$ est un nombre premier et $n$ un diviseur de $p-1$. Nous discuterons également la forme particulière de ce corpus et la stratégie utilisée pour retrouver les lignes directrices du travail de Cauchy. Augustin-Louis Cauchy published most of his arithmetical research between 1829 and 1840. These are however only mentioned in some number theory history centered on reciprocity laws or on theory of algebraic numbers. They are described as containing some results similar to those of Gauss, Jacobi and Dirichlet but in a incomplete and disorganized way. The objective of this paper is to present an analysis of Cauchy’s arithmetical texts published between 1829 and 1840 to show that they contain a rather consistent set of results related to quadratic forms $4p^{\mu } = x ^2 + ny ^2$, where $p$ is a prime and $n$ a divisor of $p-1$. We will also discuss the particular form of this body of texts and the strategy we used to find the guidelines of the work of Cauchy.

Appendices

Annexe A: Reconstruction de la méthode de Cauchy: un extrait

Nous avons reproduit ici les premières pages du mémoire de Cauchy où celui-ci démontre que, pour tout nombre premier impair $p$ et tout diviseur premier $n$ de $p-1$ de la forme $4x+3$, on peut toujours trouver des nombres entiers $X$ et $Y$ tels que $4p^{\frac{n-1}{2}}=X^2+nY^2$. Avant cet extrait, Cauchy introduit les notations déjà utilisées dans le mémoire de 1829, il rappelle la notion d’indice de Gauss et une version équivalente de la définition généralisée du symbole de Legendre donnée dans (Cauchy 1829a). Nous avons indiqué tout au long du texte dans quelles parties de l’ouvrage de Cauchy sont démontrés les résultats indiqués. Certains détails de ces compléments sont donnés dans la partie principale de l’article, l’objectif étant ici de mettre en avant les difficultés rencontrées à la lecture de ce texte. Nous avons indiqué nos annotations entre crochets en caractères linéaux. Rappelons que $p=n\varpi +1$.

Soient maintenant

$$\begin{aligned} \Theta _h = \theta +\rho ^h\theta ^t+\rho ^{2h}\theta ^{t^2}+\cdots +\rho ^{(p-2)h}\theta ^{t^{p-2}} \end{aligned}$$

(21)

et

$$\begin{aligned} \Theta _h\Theta _k=R_{h,k}\Theta _{h+k}. \end{aligned}$$

(22)

$R_{1,m}$ sera une fonction de $\rho$ de la forme

$$\begin{aligned} R_{1,m}=a_0+a_1\rho +a_2\rho ^2+\cdots +a_{n-1}\rho ^{n-1}; \end{aligned}$$

et si l’on pose

$$\begin{aligned} k\equiv mh\pmod {n}, \end{aligned}$$

on aura, en supposant $m$ différent de zéro et de $\frac{n}{2}$,

$$\begin{aligned} R_{h,mh}=a_0+a_1\rho ^h+a_2\rho ^{2h}+\cdots + a_{n-1}\rho ^{(n-1)h} \end{aligned}$$

et

$$\begin{aligned} R_{h,k}=(-1)^{\varpi (h+k)}\sum \left( \frac{u}{p} \right) ^h \left( \frac{v}{p} \right) ^k, \end{aligned}$$

(23)

le signe $\sum$ s’étendant à toutes les valeurs entières de $u, v$ comprises entre les limites $1, p-1$, et qui vérifieront l’équivalence

$$\begin{aligned} 1+u+v\equiv 0\pmod {p}. \end{aligned}$$

On aura d’ailleurs, en supposant $h$ différent de zéro,

$$\begin{aligned} \Theta _h\Theta _{-h}=(-1)^{\varpi h}p, \ R_{h,-h}=-(-1)^{\varpi h}p, \end{aligned}$$

(24)

et, en supposant $h, k$, $h+k$ non divisibles par $n$,

$$\begin{aligned} R_{h,k}R_{-h,-k}=p. \end{aligned}$$

(25)

On trouvera, au contraire

$$\begin{aligned} R_{h,0}R_{0,h}=-1. \end{aligned}$$

(26)

Enfin l’on aura

$$\begin{aligned} a_0+a_1+a_2+\cdots + a_{n-1}=p-2 \end{aligned}$$

(27)

et, en supposant $n$ pair,

$$\begin{aligned} a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots -a_{n-1}=-(-1)^{\frac{\varpi n}{2}}. \end{aligned}$$

(28)

[Les égalités 9 à 15 sont démontrées dans la note I pour le cas particulier où $\varpi =1$; elles n’y sont néanmoins pas toujours formulées de la même façon. Par exemple, pour la formule (10), Cauchy n’utilise pas le symbole de Legendre dans la note I. Cauchy revient sur les égalités (14) et (15), et sur d’autres propriétés des coefficients des expressions $R_{h,k}$ dans la note V.]

Par suite, si l’on suppose

$$\begin{aligned} R_{h,k}=F(\rho ), \end{aligned}$$

(29)

[Le fait que $R_{h,k}$ ne dépend que de $\rho$ est également démontré dans la note I.]

on trouvera

$$\begin{aligned} F(\rho ^m)=R_{mh,mk} \quad \text{ et } \quad F(\rho ^m)F(\rho ^{-m})=p, \end{aligned}$$

(30)

[L’égalité (17) est en fait l’égalité (13) de la note I.]

si le nombre $m$ est tel qu’aucune des équations

$$\begin{aligned} \rho ^{mh}=1,\ \rho ^{mk}=1,\ \rho ^{m(h+k)}=1 \end{aligned}$$

(31)

[Les égalités (18) sont traduites en termes de divisibilité par le nombre $n$ dans la note I.]

ne soit vérifiée. On aura, au contraire,

$$\begin{aligned} F(\rho ^m)=-(-1)^{\varpi mh - \varpi mk} \end{aligned}$$

(32)

si une seule des équations (18) est satisfaite, et

$$\begin{aligned} F(\rho ^m)=p-2 \end{aligned}$$

(33)

si les trois équations (18) subsistent simultanément.

Soient encore $h$, $k$, $l$ trois nombres entiers propres à vérifier la condition

$$\begin{aligned} h+k+l\equiv 0\pmod {n}. \end{aligned}$$

(34)

On aura, en supposant ces nombres tous trois différents de zéro,

$$\begin{aligned} \Theta _h\Theta _k\Theta _l = (-1)^{\varpi l}\frac{\Theta _h \Theta _k}{\Theta _{h+k}}= (-1)^{\varpi k}\frac{\Theta _h \Theta _l}{\Theta _{h+l}}= (-1)^{\varpi h}\frac{\Theta _k \Theta _l}{\Theta _{k+l}} \end{aligned}$$

et, par conséquent,

$$\begin{aligned} (-1)^{\varpi h}R_{k,l}=(-1)^{\varpi k}R_{l,h}=(-1)^{\varpi l} R_{k,h}. \end{aligned}$$

(35)

Soit maintenant $s$ une racine primitive de

$$\begin{aligned} x^{n-1}\equiv 1\pmod {n}, \end{aligned}$$

(36)

le nombre $n$ étant supposé premier, et faisons

$$\begin{aligned} \Theta _1\Theta _{s^2}\Theta _{s^4}\ldots \Theta _{s^{n-3}} = \fancyscript{F} (\rho ) \end{aligned}$$

(37)

on aura

$$\begin{aligned} \Theta _s\Theta _{s^3}\Theta _{s^5}\ldots \Theta _{s^{n-2}} = \fancyscript{F} (\rho ^s) \end{aligned}$$

(38)

et, de plus,

$$\begin{aligned} \fancyscript{F} (\rho )=\fancyscript{F} (\rho ^{s^2})=\fancyscript{F} (\rho ^{s^4})=\cdots =\fancyscript{F} (\rho ^{s^{n-3}}), \end{aligned}$$

[Cauchy indique en note de bas de page que $1+s^2+s^4+\cdots +s^{n-3}\equiv 0\pmod {n}$ : c’est donc pour cette raison que le produit ci-dessus ne dépend que de $\rho$.]

$$\begin{aligned} \fancyscript{F} (\rho ^s)=\fancyscript{F} (\rho ^{s^3})=\fancyscript{F} (\rho ^{s^5})=\cdots =\fancyscript{F} (\rho ^{s^{n-2}}). \end{aligned}$$

Donc $\fancyscript{F} (\rho )$ sera de la forme

$$\begin{aligned} \fancyscript{F}(\rho )=c_0+c_1(\rho +\rho ^{s^2} + \rho ^{s^4}+\cdots +\rho ^{s^{n-3}})+c_2(\rho ^s+\rho ^{s^3} + \cdots +\rho ^{s^{n-2}})\nonumber \\ \end{aligned}$$

(39)

[Cauchy démontre que les expressions de la forme $R_{h,k,l\ldots }$ sont symétriques par rapport aux puissances $\rho ^h, \rho ^k, \rho ^l$ dans la note III. Les propriétés des fonctions symétriques et alternées des racines primitives d’une équation binôme sont étudiées par Cauchy dans les notes VI et VII. Cela lui permet d’obtenir notamment la formule (26).]

ou

$$\begin{aligned} \fancyscript{F} (\rho ) = \frac{2c_0 -c_1-c_2}{2}+\frac{c_1-c_2}{2} (\rho -\rho ^s+\rho ^{s^2}-\rho ^{s^3}+\cdots + \rho ^{s^{n-3}}-\rho ^{s^{n-2}}) \end{aligned}$$

et, comme on aura

$$\begin{aligned}&\displaystyle s^{\frac{n-1}{2}}\equiv -1\pmod {n},\\&\displaystyle \rho + \rho ^s+\rho ^{s^2}+\cdots +\rho ^{s^{n-3}}+\rho ^{s^{n-2}}=-1,\\&\displaystyle (\rho -\rho ^s+\rho ^{s^2}-\rho ^{s^3}+\cdots + \rho ^{s^{n-3}}-\rho ^{s^{n-2}})^2=(-1)^{\frac{n-1}{2}}n, \end{aligned}$$

[Cette dernière égalité correspond à une somme de Gauss quadratique déjà démontrée par Gauss dans (Gauss 1801, Art. 356) et à la formule (14) obtenue par Cauchy dans la note I.] on trouvera

$$\begin{aligned} \fancyscript{F}(\rho )\fancyscript{F}(\rho ^s) = \left( \frac{2c_0-c_1-c_2}{2}\right) ^2-(-1)^{\frac{n-1}{2}} n\left( \frac{c_1-c_2}{2}\right) ^2, \end{aligned}$$

ou, ce qui revient au même,

$$\begin{aligned} 4\fancyscript{F} (\rho )\fancyscript{F}(\rho ^s) = (2c_0-c_1-c_2)^2-(-1)^{\frac{n-1}{2}} n(c_1-c_2)^2, \end{aligned}$$

(40)

ou bien encore

$$\begin{aligned} \fancyscript{F} (\rho )\fancyscript{F}(\rho ^s) = (c_0-c_1)^2+(c_0-c_2)(c_1-c_2)+ \frac{1-(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}{4} (c_1-c_2)^2. \nonumber \\ \end{aligned}$$

(41)

Lorsque $n$ est de la forme $4x+3$, l’équation (27) ou (28) se réduit à

$$\begin{aligned} 4\fancyscript{F} (\rho )\fancyscript{F}(\rho ^s)=(2c_0-c_1-c_2)^2+n (c_1-c_2)^2 \end{aligned}$$

(42)

ou bien à

$$\begin{aligned} \fancyscript{F} (\rho )\fancyscript{F}(\rho ^s) = (c_0-c_1)^2+(c_0-c_2)(c_1-c_2)+ \frac{n+1}{4} (c_1-c_2)^2. \end{aligned}$$

(43)

Au contraire, lorsque $n$ est de la forme $4x+1$, alors, $\frac{n-1}{2}$ étant pair, la formule (24) donne simplement

$$\begin{aligned} \fancyscript{F}(\rho )=p^{\frac{n-1}{4}} \end{aligned}$$

[Cette formule est démontrée dans la note III, dans laquelle Cauchy utilise implicitement des résultats démontrés dans les notes VI et VII.] et $\rho$ disparaît de l’équation (26), qui se trouve réduite à la forme

$$\begin{aligned} \fancyscript{F} (\rho )=c_0. \end{aligned}$$

Revenons au cas où $n$ est de la forme $4x+3$. Comme on aura

$$\begin{aligned} \fancyscript{F}(\rho )\fancyscript{F}(\rho ^s)=p^{\frac{n-1}{2}}, \end{aligned}$$

[Cette égalité est démontrée dans la note III, dans laquelle Cauchy utilise implicitement des résultats démontrés dans les notes VI et VII.] l’équation (29) donnera

$$\begin{aligned} 4p^{\frac{n-1}{2}}=(2c_0-c_1-c_2)^2+n(c_1-c_2)^2. \end{aligned}$$

Donc on résoudra l’équation

$$\begin{aligned} 4p^{\frac{n-1}{2}}=X^2+nY^2 \end{aligned}$$

(44)

en prenant

$$\begin{aligned} X=2c_0-c_1-c_2, \quad Y=c_1-c_2. \end{aligned}$$

Annexe B

See Table 1.

Table 1 Liste des travaux arithmétiques de Cauchy publiés ou présentés à l’Académie des sciences (1829–1840)

Annexe C

See Table 2.

Table 2 Structure du Mémoire sur la théorie des nombres de Cauchy (1840)