Zur Berücksichtigung von Heterogenität versus funktionaler Flexibilität in Absatzreaktionsmodellen: Eine empirische Studie auf Basis von Handelsdaten

Zusammenfassung

Der vorliegende Beitrag beschäftigt sich mit der Modellierung von Absatzreaktionsfunktionen im Kontext von Handelsdaten. Im Mittelpunkt steht dabei die insbesondere auch aus Praxissicht relevante Frage, ob sich die Inkaufnahme einer höheren Modellkomplexität, welche durch die Berücksichtigung von Heterogenität einerseits bzw. von größerer funktionaler Flexibilität andererseits gegenüber einem einfachen parametrischen Absatzreaktionsmodell entsteht, lohnt. Dazu werden im Rahmen einer empirischen Anwendung auf der Basis von Handelsscannerdaten entsprechende Absatzreaktionsfunktionen geschätzt und anhand der Anpassungsgüte, Prognosevalidität, den resultierenden Preiselastizitäten sowie den geschätzten Verläufen für Preis- und Konkurrenzpreiseffekte miteinander verglichen. Die Ergebnisse der Studie zeigen, dass die Berücksichtigung von Heterogenität nicht per se vorteilhaft sein muss, die flexible (nicht- bzw. semiparametrische) Modellierung von Absatzreaktionen dagegen erhebliche Potenziale für Modellverbesserungen in sich birgt.

Abstract

In this paper, we explore the differences between store sales models that allow for heterogeneity in marketing effects across stores and models that accommodate potential irregularities in sales response through the use of nonparametric estimation techniques. In particular, we investigate the following question: What benefits can we gain from incorporating store heterogeneity versus functional flexibility in sales response models concerning fit and predictive validity, as compared to a simple parametric store sales model? In an empirical study based on store-level data, we also compare the different model versions with respect to estimated price elasticities and resulting shapes for own- and cross-price effects. Our empirical results indicate that addressing heterogeneity is not advantageous in general, as model fit, predictive validity and the accuracy of price elasticities did not improve for many brands. In contrast, estimating sales response flexibly provides much more potential for statistical improvements and leads to different implications concerning price elasticities, too.

Appendices

Anhang

A.1 Monotonierestriktionen

Um – in Übereinstimmung mit der ökonomischen Theorie (z. B. Rao 1993) – monoton fallende Funktionsverläufe für Eigenpreiseffekte $\text{(d}{.}\ \text{h}\text{.}\ {{{f}'}_{j}}({{P}_{j}}) \le 0 \, f \ddot {u}r \, j = m)$ und monoton steigende Funktionsverläufe für Kreuzpreiseffekte $\text{(d}\text{.}\ \text{h}\text{.}\ {{{f}'}_{j}}({{P}_{j}})\ge 0\,f\ddot{u}r\,j\ne m)$ im semiparametrischen Modell (5) zu erhalten, ist es hinreichend zu gewährleisten, dass aufeinanderfolgende Koeffizienten β _jk geordnet sind¹³, so dass im Fall von Eigenpreiseffekten

$$ {{\beta }_{j1}}\ge {{\beta }_{j2}}\ge \ldots \ge {{\beta }_{j{{K}_{j}}}} $$

(11)

bzw. im Fall von Kreuzpreiseffekten

$$ {{\beta }_{j1}}\le {{\beta }_{j2}}\le \ldots \le {{\beta }_{j{{K}_{j}}}} $$

(12)

gilt. Dies wird erreicht, indem die Priori-Verteilung des Koeffizientenvektors ${{\beta }_{j}}={{( {{\beta }_{j1}},\ldots,{{\beta }_{j{{K}_{j}}}} )}^{\prime }}$ (vgl. Ausdruck (8)) mit Hilfe von Indikatorfunktionen trunkiert (gestutzt) wird (für Details siehe Brezger und Steiner 2008). An dieser Stelle sei bemerkt, dass das multiplikative (und exponentielle) Modell wie auch andere etablierte parametrische Preisabsatzfunktionen implizit monotone Funktionsverläufe gewährleisten.

A.2 Hyperpriori-Parameter

Die Parameter der Hyperpriori-Verteilungen (vgl. Abschn. 2.1 bzw. 2.2) werden in Anlehnung an vergleichbare Studien so gewählt, dass möglichst nichtinformative Verteilungen resultieren. Entsprechend werden die Parameter der inversen Gammaverteilung, die für sämtliche Varianzparameter als Hyperpriori-Verteilung dient, mit a = b = 0,001 festgelegt (vgl. z. B. Brezger und Steiner 2008). Die Kovarianzmatrix V (vgl. Ausdruck (4)) wird als Diagonalmatrix definiert (vgl. Gelfand et al. 1995, S. 483). Demnach ergeben sich für die Varianzparameter auf der Diagonalen ebenfalls inverse Gammaverteilungen als Hyperpriori-Verteilungen. Andrews et al. (2008) haben gezeigt, dass der Verzicht auf eine Schätzung von Kovarianzen zwischen geschäftsspezifischen Effekten die Prognosegüte des HB-Modells verbessert (und gleichzeitig die Modellkomplexität verringert).¹⁴

A.3 Modellzusammenfassung

Nachfolgende Tabelle fasst die Modellstruktur einschließlich Verteilungsannahmen bzgl. Priori- und Hyperpriori-Parametern für die in den Abschn. 2.1 und 2.2 eingeführten und im Rahmen der empirischen Studie geschätzten parametrischen und semiparametrischen Modellspezifikationen zusammen:

(Heterogenes) Parametrisches Modell
Grundstruktur	${{y}_{i}}={{\alpha }_{i}}+{{X}_{i}}{{\beta}_{i}}+{{W}_{i}}\delta +{{\varepsilon }_{i}},\ {{\varepsilon}_{i}} \sim N(0,{{\sigma}^{2}}{{I}_{{{T}_{i}}}})$
Priori-Verteilungen	$\begin{aligned} & {{\alpha }_{i}}\sim N( \bar{a},\tau _{{{\alpha }_{i}}}^{2} ),\ {{\beta }_{i}} \sim N( \bar{\beta },V ),\ \delta \propto const,\ {{\sigma }^{2}} \sim IG( {{a}_{0\sigma }},{{b}_{0\sigma }} ) \\ & \bar a \propto const,\;\tau _{{\alpha_i}}^2\sim IG \left( {{a_{0{\alpha _i}}},{b_{0{\alpha _i}}}} \right)\quad \forall i,\;\bar \beta \propto const, \end{aligned}$
Hyperpriori-Verteilungen	$\begin{aligned} & V\sim IW\left( {{a_{0V}},{B_{0V}}} \right)\;{\rm{bzw}}{\rm{.}}\; V = diag\left( {v_i^2} \right)\;{\rm{mit}}\\ & v_i^2\sim IG\left({{a_{0{v_i}}},{b_{0{v_i}}}} \right)\quad \forall i\; \end{aligned}$
Parameterspezifikationa	${{a}_{0\sigma }}{=}\,{{b}_{0\sigma }}{=}\,0{,}001,\ {{a}_{0{{\alpha }_{i}}}}{=}\,{{b}_{0{{\alpha }_{i}}}}{=}\,0{,}001\quad \forall i,\quad {{a}_{0{{v}_{i}}}}{=}\,{{b}_{0{{v}_{i}}}}{=}\,{0}{,}001\quad \forall i$
Zu schätzende Parameter	${{\alpha }_{i}},{{\beta }_{i}},\delta ,{{\sigma }^{2}},\bar{a},\tau _{{{\alpha }_{i}}}^{2}\forall i,\bar{\beta },V$
Semiparametrisches Modell
Grundstruktur	${{y}_{i}}={{\alpha }_{i}}+\sum\limits_{j=1}^{J}{{{f}_{j}}( {{X}_{ij}},{{\beta }_{j}} )}+{{W}_{i}}\delta +{{\varepsilon }_{i}},\ {{\varepsilon }_{i}}\tilde{\ }N( 0,{{\sigma }^{2}}{{I}_{{{T}_{i}}}} )$
Priori-Verteilungen	${{\beta }_{j,1}},{{\beta }_{j,2}}\propto const,$
	${\beta _{jk}} = 2{\beta _{j,k - 1}} - {\beta _{j,k - 2}} + {u_{jk}},\;{u_{jk}} \sim N\,({0,\tau _j^2} )\forall k> 2,$
	$\begin{aligned} {{\beta }_{j1}}&\ge {{\beta }_{j2}}\ge \ldots \ge {{\beta }_{j{{K}_{j}}}}\ ( \text{Monotonierestriktionen f}\ddot{u}\text{r Eigenpreiseffekte} )\;\text{ bzw}.\nonumber\\\& {{\beta }_{j1}}&\le {{\beta }_{j2}}\le \ldots \le {{\beta }_{j{{K}_{j}}}}\ ( \text{Monotonierestriktionen f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r Kreuzpreiseffekte} ), \end{aligned}$
	${{\alpha }_{i}}\tilde{\ }N( \bar{a},\tau _{{{\alpha }_{i}}}^{2} ),\ \delta \propto const,\ {{\sigma }^{2}}\tilde{\ }IG( {{a}_{0\sigma }},{{b}_{0\sigma }} )$
Hyperpriori-Verteilungen	$\bar{a}\propto const,\ \tau _{{{\alpha }_{i}}}^{2}\tilde{\ }IG( {{a}_{0{{\alpha }_{i}}}},{{b}_{0{{\alpha }_{i}}}} )\quad \forall i,$
	$\tau _{j}^{2}\tilde{\ }IG( {{a}_{0j}},{{b}_{0j}} )\quad \forall j$
Parameterspezifikationa	${{a}_{0\sigma }}={{b}_{0\sigma }}=0{,}001,\;{{a}_{0{{\alpha }_{i}}}}={{b}_{0{{\alpha }_{i}}}}=0,001\quad \forall i$
Zu schätzende Parameter	${{\alpha }_{i}},{{\beta }_{j}}\forall j,\delta ,{{\sigma }^{2}},\bar{a},\tau _{{{\alpha }_{i}}}^{2}\forall i,\tau _{j}^{2}\forall j$

1. ^aEingangsgrößen für BayesX

Die Matrizen X _j in der Grundstruktur des semiparametrischen Modells entsprechen den Designmatrizen für die einzelnen Preisvariablen, die sich aus dem Basisfunktionenansatz ergeben (vgl. hierzu Fahrmeir et al. 2007, S. 306 f.) und es gilt ${{\beta }_{j}}={{( {{\beta }_{j1}},\ldots ,{{\beta }_{j{{K}_{j}}}} )}^{\prime }}.$ Hierbei wird K _j (die Anzahl der Knoten) für jeden Preiseffekt j auf K _j  = 20 festgelegt.