Résumé
Dans deux mémoires (1) nous avons étudié la saturation des procédés de sommation des séries deFourier de fonctions continues et donné une réponse assez générale à cette question. Nous avons montré qu'il était intéressant de connaître avec précision l'approximation d'une fonction continuef par des sommes trigonométriques provenant d'un procèdé régulier, lorsque la meilleure approximation def étaitE n (f)=O(1/n) ouo(1/n). Dans ce qui suit nous montrons que les fonctions absoluement continues, c'est à dire les intégrales deLebesgue, possèdent, sauf éventuellement sur un ensemble de mesure nulle, les propriétés que nous avons signalées pour les fonctions dont la meilleure approximation trigonométrique esto(1/n). Nous en avons déduit la condition pour que relativement à un ensemble & dont le complémentaire est de mesure nulle et en tout point de &, la fonction conjuguée d'une fonction sommable soit une dérivée.
Article PDF
Literatur
I.Classes de saturation ..., « Annales Scientifiques de l'École Norm. Supér. », (2), 66, Paris 1949, 1r fascicule, p. 19–93; II.Classes de saturation ..., « Annales Scientifiques de l'École Norm. Supér. », 67, Paris 1950, 2e fascicule, p. 161–198.
M. A. Zygmund nous a fait remarquer que le dernier résultat publié aux « Comptes Rendus de l'Academie des Sciences », (t. 230, p. 2256–2258, séance du 26 juin 1950) est incorrect. Car il entraînerait que dans tout intervalle (a, b) on pourrait en trouver un autre (a′, b′) dans lequelf′ serait bornée après qu'on eût éventuellement changé les valeurs def′ sur un ensemble de mesure nulle. Or on peut construire une fonctionf′, conjuguée d'une fonctionf absolûment continue, qui ne soit pas bornée dans aucun intervalle, quelle que soit le manière de la modifier sur un ensemble de mesure nulle.M. Zygmund nous a donné l'exemple suivant:\(\varphi _1 (x) = - \mathop \Sigma \limits_2^\infty \frac{{\cos nx}}{{\log n}},f_1^ \cdot (x) = \mathop \Sigma \limits_2^\infty \frac{{\cos nx}}{{\log n}},f^ \cdot (x) = \mathop \Sigma \limits_{n = 2}^\infty \frac{1}{{n\log n}}(\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty \alpha _k \cos n(x - \alpha _k ))\) les points α k étant denses dans (0, 2π) et Σαk =O(1).f′(x) est la conjuguée def, elle-même primitive de φ=Σαkφ1(x−αk). Les sommes partielles d'ordren de la série deFourier def′(x) tendent vers +∞ quandx tend vers un αk. Quelle que soit la façon dont on change les valeurs def′ sur un ensemble de mesure nulle,f′ n'est pas bornée parce que dans le cas contraire les moyennes (C, 1) le seraient aussi ce qui est impossible puisque les sommes deFourier def′ tendent vers +∞.
Titchmarsh,On conjugate functions, « Proceedings of the London Mathematical Society », vol. 29, 1929, p. 49–80.
VoirDenjoy,Calcul des coefficients d'une série trigonométrique, IIe partie, p. 166, (Gauthier-Villars, Paris, 1941).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Zamansky, M. Sur les fonctions absoluement continues et les conjuguées d'une fonction sommable. Annali di Matematica 32, 157–177 (1951). https://doi.org/10.1007/BF02417957
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02417957