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Konvexe und nichtkonvexe Fließflächen

Convex and Non-convex Flow Surfaces

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Zusammenfassung

Die Festigkeitshypothesen und Fließflächen aus den klassischen Kursen der Mechanik (die Normalspannungshypothese, die Modelle nach von Mises und Tresca) reichen oft nicht aus, das tatsächliche Verhalten von Bauteilen unter Belastung zu erfassen. Deshalb werden in der Literatur weitere Modelle mit einem oder mehreren Parametern vorgeschlagen. Diese Modelle beschränken allerdings die Geometrien der zulässigen Formen der Flächen im Spannungsraum.

In dieser Arbeit wird ein auf die Zugspannung normiertes Druck-Torsion-Diagramm vorgestellt, in dem sich die Modelle inkompressiblen Materialverhaltens miteinander vergleichen lassen. Mit diesem Diagramm wird der Begriff der Symmetrie der Fläche in der π-Ebene verdeutlicht. Die konvexen Flächen inkompressiblen Materialverhaltens sind im Diagramm durch zwei Modelle extremaler Fließfiguren beschränkt.

Auf der Basis von verallgemeinerten Modellen (Radcig-Modell und konvexe Kombination der Modelle von Sayir und Haythornthwaite) wird die minimale Anzahl der Parameter für die Abbildung konvexen Formen inkompressiblen Materialverhaltens diskutiert. Wegen der Komplexität werden diese Modelle für die Praxis nicht empfohlen. Daneben wird ein so genanntes geometrisch-mechanisches Modell mit zwei Parametern vorgeschlagen, das mehrere konvexe Formen beinhaltet. Durch die Variation der Potenz der Spannung in diesem Modell wird versucht, einen maximalen Bereich an konvexen Lösungen im Druck-Torsion-Diagramm zu erhalten.

Die Analyse von Fließflächen ist mit der Berechnung der Konvexitätsgrenzen verbunden. Bei der analytischen Überprüfung der Konvexität wird von einer Formel von Betten-Troost ausgegangen. Einige Restriktionen, denen die Konvexität unterliegt, werden mit dieser Formel jedoch nicht erkannt. Eine Nachrechnung der Formel von Betten-Troost hat zu zusätzlichen Termen geführt. Da die Einschränkungen bei der Herleitung der Formel nicht bekannt sind, wird hier mit der korrigierten Gleichung gearbeitet.

Um kompressibles Materialverhalten beschreiben zu können, wird die erste Spannungsinvariante in die Modellgleichungen eingeführt. In Abhängigkeit von der vorhandenen Potenzen der Vergleichsspannung in den Modellgleichungen werden drei einfache Transformationen vorgeschlagen, die die Anwendung der Modelle deutlich vereinfachen. Bei dieser Vorgehensweise erübrigt sich die Überprüfung der Konvexität in den Meridianschnitten.

Abstract

The strength hypotheses and yield surfaces studied in the classical courses of strength of materials (the normal stress hypothesis, the modes due to von Mises and Tresca) are not sufficient in order to obtain a realistic description of the material behavior at various loading conditions. Therefore advanced models with one or more parameters are suggested in the literature. These models are connected with some limitations of the geometry of the suitable shapes of the surfaces in the stress space.

In this paper a compression-torsion diagram normalized with respect to the tension stress is presented. It is possible to compare the models for incompressible material behavior using this diagram. The region of convex forms is bounded by zwei extremal models. In the diagram the meaning of the symmetry in the π-plane is clarified, which simplifies the comparison of the models.

Generalized models (the Radcig-model and convex combination of the models by Sayir and Haythornthwaite) are used to discuss the minimal number of parameters required to obtain convex forms for description of the incompressible material behaviour. The complexity of these models leads to assumption, that they are not suitable for real-world applications. A so-called geometrical-mechanical model with two parameters is proposed, which encompasses a large number of convex geometries. By variation of the power of the stress one tries to obtain the convexity region in the compression-torsion diagram, which is as large as possible.

In order to achieve the largest-possible convexity region, the computation of its boundaries is required. Using an equation proposed by Betten-Troost the convexity problem can be investigated analytically. However, some boundaries of the convexity region could not be obtained with this equation analytically. The equation of Betten-Troost is checked by the authors and additional terms are obtained. The restrictions imposed upon the equation are not known, hence the corrected version of the equation is applied.

For compressible generalizations the first invariant of the stress tensor is introduced into the models. In dependence of the power of the equivalent stress in the models three simple transformations are proposed. The transformations avoid convexity check in the meridian planes.

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Abbreviations

Φ:

Modell isotropen Materialverhaltens

σ,s:

Spannungstensor, Spannungsdeviator

I 1 :

Spur des Spannungstensors, erste Invariante des Spannungstensors

\(I_{2}'\), \(I_{3}'\):

zweite und dritte Invariante des Spannungsdeviators

θ :

Spannungswinkel

σ eq :

Vergleichsspannung

σ+,σ−,τ∗:

Grenzwerte der Zug-, Druck- und Schubspannung

σI,σII,σIII:

Hauptspannungen

κ :

Krümmung

d,k:

Verhältniszahlen für Druck und Torsion

f :

Skalierungsfaktor

n :

Potenz der Spannung im Modell

m :

Potenz der Funktion des Spannungswinkels

\(b_{i}, c_{j}, \tilde{c}_{k}\) :

Modellparameter

γ i :

Vorfaktoren der ersten Spannungsinvariante

\(\nu_{+}^{\mathrm{pl}}, \nu_{-}^{\mathrm{pl}}\) :

inelastische Querkontraktionszahlen bei Zug bzw. Druck

x, y:

globale Koordinaten in der π-Ebene

y′,y″:

erste und zweite Ableitungen von y(x) nach x

t1,t2:

gedrehtes Koordinatensystem

\(t_{2}', t_{2}''\) :

erste und zweite Ableitungen von t 2 im gedrehten Koordinatensystem nach t 1

Ψ(t 1;t 2):

Funktion, die sich aus Φ im gedrehtem Koordinatensystem ergibt

Z 2 :

Zähler in der zweiten Ableitung y″(x)

Z, BD:

Punkte des Meridians θ=0°: Zug und biaxialer Druck

D,BZ:

Punkte des Meridians θ=60°: Druck und biaxialer Zug

K,IZ,UD:

Punkte des Meridians θ=30°: Torsion, dünnwandige Rohrprobe unter Innendruck und Umgebungsdruck

AZ,AD:

Punkte des hydrostatischen Zuges und des hydrostatischen Druckes

BKM:

Bikubisches Modell

GMM:

Geometrisch-mechanisches Modell

SIH:

Modell von Schmidt-Ishlinsky-Hill

UYC:

Fließkriterium nach Yu (Unified Yield Criterion)

UST:

Festigkeitshypothese nach Yu (Unified Strength Theory)

π-Ebene:

Schnitt durch die Fläche Φ senkrecht zur hydrosatischen Achse

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Authors and Affiliations

  1. Deutsches Kunstoff-Institut Darmstadt, Schloßgartenstr. 6, 64289, Darmstadt, Deutschland

    A. Bolchoun & V. A. Kolupaev

  2. Lehrstuhl Technische Mechanik, Otto-von-Guericke-Universität-Magdeburg, 39106, Magdeburg, Deutschland

    H. Altenbach

Authors
  1. A. Bolchoun
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  2. V. A. Kolupaev
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  3. H. Altenbach
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Bolchoun, A., Kolupaev, V.A. & Altenbach, H. Konvexe und nichtkonvexe Fließflächen. Forsch Ingenieurwes 75, 73–92 (2011). https://doi.org/10.1007/s10010-011-0135-6

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