C-optimale Entscheidungen

Zusammenfassung

Die allgemeine Entwicklung in der Statistik geht aus sachlogisch zwingenden Gründen dahin, bei der Modellbildung und der Konstruktion der zugehörigen Entscheidungsverfahren harte, nicht verifizierbare Modellannahmen durch die Berücksichtigung aller vorhandenen Informationen zu vermeiden. Daß trotzdem die etablierten Verfahren diese Forderung jeweils nur in bestimmten Punkten erfüllen, mag an der Art der Informationen liegen. Diese bestehen nämlich nicht immer aus eindeutigen Aussagen, vielmehr werden oft mehrere mögliche Aussagen über einen bestimmten Sachverhalt mit Bestätigungsmaßen, Bewertungen oder mit relativen Häufigkeiten ihres Zutreffens (gegebenenfalls zu, Wahrscheinlichkeiten idealisiert) versehen.

Deshalb wird hier mit der Methodik der C-optimalen Entscheidungen, welche die Theorie der Stochastischen Partiellen Information (Kofler/Menges 1976) miteinbezieht, eine dieser Forderungen in vollem Umfang genügende Verfahrensweise vorgeschlagen. C-Optimalität geht von der Erkenntnis aus, daß es in der Realität nicht darauf ankommt, das Optimum ganz genau zu erreichen, sondern eine vorgegebene Genauigkeit C genügt. Der so entstehende Spielraum wird genutzt, um erwünschte Optimalitätseigenschaften wie maximale Sensitivität und damit Robustheit des Entscheidungsverfahrens zu erhalten.

Besonderer Wert wird auf praktische Anwendbarkeit gelegt (daher A-Posteriori-Analyse), wenngleich der Einfachheit durch die Verarbeitung aller Informationen natürlich Grenzen gesetzt sind. Deswegen wird die Methode auch anhand eines charakteristischen Beispiels aus dem Marketing-Bereich paradigmatisch erläutert, und die rechnerische Durchführung besprochen.

Im Vordergrund der sonstigen Untersuchungen steht das Verfahren bei festem Stichprobenumfang, und zwar in der Schätz- und Testtheorie. Die asymptotische Optimalität im Sinne der Mathematischen Statistik ist allerdings ebenfalls gewährleistet.

Summary

The general development of statistics tends, for semantically imperative reasons, in the construction of models and of corresponding decision procedures, to avoid strong non-verifiable assumptions by the consideration of all information at hand. Reasons for the established methods to fulfill this requirement only up to certain aspects may lie in the kind of information. The latter consists not always in clear-cut statements, rather often some possible statements about a certain matter are furnished by measures of confirmation, evaluations, or relative frequencies of their occurence (eventually idealized to probabilities).

The methodology of c-optimal decisions, including the theory of Stochastic Partial Information (Kofler/Menges 1976), therefore suggests an approach fully sufficient to meet the above requirement. C-optimality starts from the insight that in reality it is never of importance to reach an optimum exactly, rather a given accuracy c suffices. The clearance thus gained is used for the obtaining of desired optimality properties like maximal sensitivity and therewith robustness of the decision procedure.

Main emphasis is put on practical applicability (hence a posteriori analysis) although there are natural limitations to simplicity given by the processing of all information at hand. Therefore, the method is paradigmatically explained by a characteristic example from the area of marketing, and the computational processing is discussed.

Well to the fore of the remaining inquiries is the method with fixed sample size in estimation and test theory. Nevertheless, the asymptotic optimality in the sense of mathematical statistics is equally quaranteed.

Résumé

L'évolution générale des statistiques tend pour des raisons “sachlogisch” impérienses à éviter des hypothèses strictes, non vérifiables dans le cadre de l'établissement de modèles et de la construction de procédures de décision liées par l'inclusion de toutes les informations existantes. C'est peut-être le caractère des informations qui cause que les procédures traditionelles ne remplissent cette demande qu'en certains points. Celles-ci ne sont pas toujours caractérisées par des résultats sans ambiquité; en ce qui concerne un certain fait plutôt plusieurs résultats possibles sont souvent indiqués avec des mesures confirmatives, d'évaluation ou avec des fréquences relatives (eventuellement idéalisées à des probabilités).

C'est pourquoi une procédure est proposée ici remplissant tout à fait cette demande par les méthodes des décisions c-optimales incluant la théorie stochastique partielle (Kofler/Menges 1976). La c-optimalité est basée sur la considération qu'il n'est pas important en réalité d'atteindre exactement l'optimum mais qu'une exactitude c déterminée a priori suffit. La marge ainsi crée est utilisée pour garder des qualités d'optimalité désirées ainsi que la sensitivité maximale et comme conséquence la vigueur de la procédure de décision.

Une valeur spéciale est attachée à l'applicabilité pratique (c'est pourquoi l'analyse a posteriori), quoique la simplification soit limitée bien sûr par l'inclusion de toutes les informations. C'est pourquoi la méthode est expliquée paradigmatiquement d'un exemple caractéristique en provenance du marketing, et le calcul est discuté.

La procédure dans le cas d'échantillon à taille fine est au premier plan des autres analyses, c'est à dire dans le cadre de théorie d'estimation et des tests. L'optimalité asymptotique dans le sens des statistiques mathématiques est avant tout aussi assurée.

Резюме

В статистике, в области образования моделей и относящихся к этим моделям разремащих процедур, общее развитие идет из делово-логичных причин в том направлении, чтобы путем учета всех существующих инфо рмамии избегать постоянных и не поддающихся проверке модельных предположений. Факт, что известные пронедуры исполняют это требование лишь в определенных точках имеет причину в виде информаций. Последние состоят не всегда из однозначных высказываний, скорее добавляутся часто к нескольким возможным высказываниям относительно определенного положения вещей меры подтверждения, оценки или относительные частоты оправдания этих информаций (иногда идеализированные к вероятностям). Поэтому предполагается здесь метод Ц-оптимальных рещений, включающий теорию стохастической частичной инфо рмации (Кофлер/Менгес 1976). Этот метод полностью исполняет выше упомянутое требование. Ц-оптимальность исходит из того, что в действитель-ности неважно достичь вполне оптимум; данная точность-Ц достаточна. таким образом создающийся простор применяется для получения желательных свойств оптимальности, т. е. максимальной сензитивности и этим прочности разрешающей процедуры.

Особое значение придается практической применимости (поэтому апостериорный анализ), хотя и вследствие рассматривания всех информации простоте есть пределы. Поэтому этот метод парадигматически поясняется на характерном примере из области маркетинга. Затем следует вычислительная часть.

На первом плане остальных исследований находится метод, применяемый при постоянном обБеме выборок, а то в теории оценок и тестов. Асимптотическая оптимальность в смысле математической статистики обеспечена конечно также.