Dirac Hamiltonian for strong Coulomb fields

Summary

We study the essential self-adjointness of the Dirac Hamiltonian in the Coulomb field of a heavy point nucleus. For$\tfrac{1}{2} \sqrt 3< \alpha Z< 1$ we give an elementary proof of self-adjointness, based on deficiency index arguments. For αZ>1, we construct a distinguished self-adjoint extension and compute the energy eigenvalues. The energy of the ground state does not approach the negative-energy continuum, as would be necessary for a «charged vacuum» to exist.

Riassunto

Si studia la proprietà essenziale di essere autoraggiunto dell’hamiltoniano di Dirac nel campo di Coulomb di un nucleo puntiforme pesante. Per$\tfrac{1}{2} \sqrt 3< \alpha Z< 1$ si dà una prova elementare di questa proprietà basata su argomenti di indici di carenza. Per αZ>1 si costruisce un’estensione autoaggiunta distinta e si calcolano gli autovalori dell’energia. L’energia dello stato fondamentale non si avvicina al continuo di energia negativa, come sarebbe necassario perchè esistesse un «vuoto carico».

Резюме

Мы исследуем существенную самосопряженность дираковского гамильтониана в кулоновском поле тяжелого точечного ядра. Для${{\sqrt 3 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}< \alpha Z< 1$ мы приводим элементарное доказательство самосопряженности, основанное на аргументах недостатка индексов. Для αZ>1 мы конструируем известное самосопряженное обобщение и вычисляем собственные значения энергии. Элергия основного состояния не стремится к отрицательному энергетическому континууму, что было бы необходимым в случае существования «заряженного вакуума».