The complete field of a general static spherically symmetric distribution of charge

Summary

The exact solution of the combined Einstein-Maxwell field equations is presented which describes the complete field, interior and exterior, of a general static spherically symmetric distribution of charge. The solution is a functional of the charge density σ and of the componentsM ¹₁ andM ⁴₄ of the matter energy tensorM ⁱ_j ; the componentsM ²₂ andM ³₃ are given in terms of σ,M ¹₁ andM ⁴₄ . The solution is well behaved everywhere and satisfies all the necessary junction conditions across the surface of the distribution. Outside the distribution, the solution reduces to the exterior Nordström solution with the gravitational massm explicitly defined in terms of σ and of the matter density ϱ(= −M ⁴₄ ). In the special case of charged dust, that is when all the matter stresses are zero, it is shown that σ=± ϱ inside the distribution andm=|e| outside the distribution, wheree is the total charge of the dust. A class of explicit solutions is also given in this case, and a theorem is proved which establishes a particularly simple form of the line element for the most general spherically symmetric charged dust.

Riassunto

Si presenta l’esatta soluzione delle equazioni di campo combinate di Einstein-Maxwell che descrive il campo completo, interno ed esterno, di una distribuzione di carica generale, statica e a simmetria sferica. La soluzione è un funzionale della densità di carica σ e dei componentiM ¹₁ eM ⁴₄ del tensore di energia della materiaM ^j_j ; i componentiM ²₂ eM ³₃ sono forniti in termini di σ,M ¹₁ eM ⁴₄ . La soluzione si comporta bene ovunque e soddisfa tutte le necessarie condizioni di congiungimento attraverso la superficie della distribuzione. Al di fuori della distribuzione, la soluzione si riduce alla soluzione esterna di Nordström con la massa gravitazionalem definita esplicitamente in termini di σ e della densità di materia ϱ(= −M ⁴₄ ). Nel caso particolare di polvere carica, cioè quando tutte le tensioni della materia sono nulle, si mostra che σ=± ϱ all’interno della distribuzione em=|e| all’esterno della distribuzione, dovee è la carica totale della polvere. In questo caso si fornisce anche una classe di soluzioni esplicite, e si prova un teorema che stabilisce una forma particolarmente semplice dell’elemento di linea per la polvere carica più generale a simmetria sferica.

Реэюме

Приводится точное рещение общединенных полевых уравнений Эйнщтейна-Максвелла, которое описывает полное поле, внутреннее и внещнее, обшего статического сферически симметричного распределения эаряда. Рещение представляет функционал плотности эаряда σ и компонентM ¹₁ иM ⁴₄ тенэора знергии вешестваM ⁱ_j ; компонентыM ²₂ иM ³₃ выражаются череэ σ,M ¹₁ иM ⁴₄ . Полученное рещение является веэде регулярным и удовлетворяет всем необходимым условиям сщивки на поверхности распределения. Вне распределения рещение сводится к внещнему рещению Нордстрёма с гравитационной массойm, которая выражается в явном виде череэ σ и плотность вешества ρ (= −M ⁴₄ ). В специальном случае эаряженной пыли, который имеет место, когда все напряжения вешества равны нулю, покаэывается, что σ=±ρ внутри распределения иm=|e| вне распределения, где в есть полный эаряд пыли. В зтом случае также эадается класс рещений в явном виде и докаэывается теорема, которая устанавливает особенно простую форму линейного злемента для наиболее обшего сферически симметричного распределения эаряженной пыли.