Renormalization group and completeness of field theories. Nucleon-pion couplings

Summary

The problem of the mathematical consistency of a field theory defined by a given local Hamiltonian is studied in terms of the propagator (Green’s function) formalism. It is necessary for the mathematical consistency of a theory that all the branching equations satisfield by its propagators be covariant under the transformations of its renormalization group (which can be explicitly written). This analysis (which differs in method, but not in principle, from the standard renormalization program) permits to find systematically and explicitly all the terms that need be added to the original Hamiltonian if this was not complete to start with,i.e. if covariance could not be secured for the set of branching equations obtained from it alone. Local non-renormalizable theories are mathematically meaningless, because they originate from only fragments of Hamiltonians which are meaningful only if taken as wholes; the missing terms (even if infinite in number) can be exactly reconstructed with the present method, which leads naturally to identify the concepts of mathematical consistency and of physical completeness. All meaningful relations among coupling constants, such as symmetry requirements, must remain invariant under the renormalization group, which plays a rôle as important in the search for completeness, as that of the gauge groupe in electrodynamical problems. For the sake of concereteness, and as a first example, this method is illustrated with reference to the study of the standard meson-nucleon couplings, scalar and pseudoscalar, neutral and charged; the well known \gf{su3} and \gf{su1} (scalar), \gf{su4} (pseudoscalar) terms are obtained (a precedent erroneous statement about the renormalizability of the neutral scalar coupling is corrected, so that now all results agree with the expected ones). Another example is treated in the Appendix.

Riassunto

Con il metodo dei propagatori (funzioni di Green) viene trattato il problema della consistenza matematica di una teoria di campo definita da una hamiltoniana locale. Per la consistenza matematica di una teoria è necessario che tutte le equazioni di diramazione soddisfatte dal propagatore siano covarianti per le trasformazioni del gruppo di rinormalizzazione (il quale si può scrivere esplicitamente). Questa analisi (che differisce in metodo ma non in principio dall’usuale metodo di rinormalizzazione) permette di trovare sistematicamente ed in maniera esplicita tutti i termini da aggiungere ad una data Hamiltoniana quando questa non è completa in partenza, cioè quando la covarianza non viene verificata dall’insieme di equazioni di diramazione che si ottengono da essa. Teorie locali non rinormalizzabili sono prive di significato matermatico perchè esse si originano da singoli termini di hamiltoniana i quali acquistano significato solamente se presi nel loro insieme; i termini da aggiungere all’hamiltoniana (anche se infiniti in numero) possono essere esattamente ottenuti con il presente metodo, il quale porta ad identificare il concetto di consistenza matematica con quello di completezza fisica. Tutte le relazioni significative fra costanti di accoppiamento, tali come i principi di simmetria, devono essere invarianti per trasformazioni del gruppo di rinormalizzazione. Questo gruppo gioca un ruolo tanto importante nella ricerca della completezza di una teoria come il gruppo di gauge nei problemi di elettrodinamica. Nel presente lavoro questo metodo viene illustrato in riferimento allo studio dell’accoppiamento scalare e pseudoscalare del mesone con il nucleone sia nel caso di mesoni neutri che carichi; i ben noti termini \gf{su3} e \gf{su1} (scalare), \gf{su4} (pseudoscalare) sono ottenuti (una precedente erronea conclusione circa la rinormalizzabilità della teoria scalare neutra viene corretta, in modo che ora tutti i risultati sono in accordo con quelli aspettati). Un altro esempio è trattato in Appendice.