Regularization and renormalization

Summary

A general formalism is presented which permits to investigate the question, under which conditions does a regularization procedure become a renormalization. This is the case whenever the procedure satisfies conditions of two sorts: a first set of conditions is of very general nature and stems only from combinatorial and analytical requirements; a second set restricts both field theories and procedures alike. This work gives an exhaustive treatment of the first set of conditions and prepares the ground for the study of the second set, which will soon be published. The main conclusion will be that the problem of the renormalization of ultraviolet divergencies can be completely bypassed by an appropriate redefinition of the concept of integral, such as is required when hyperbolic equations are considered. The treatment is mathematically rigorous and wholly independent of perturbative methods; it puts the theory on a firm footing for subsequent quantitative studies.

Riassunto

Si formulano metodi generali che permettono di studiare le condizioni sotto le quali una regolarizzazione diviene una rinormalizzazione. Ciò accade ogni qualvolta il procedimento verifica condizioni di due tipi: un primo tipo, di natura assai generale, che deriva solo da requisiti combinatorici ed analitici; un secondo, che circoscrive insieme teorie e possibili procedimenti. Questo lavoro dà una trattazione esauriente delle condizioni del primo tipo e prepara lo studio di quelle del secondo, che verrà presto pubblicato. La conclusione principale sarà la dimostrazione che il problema delle divergenze ultraviolette viene completamente superato, riducendosi esso a quello di una appropriata ridefinizione del concetto di integrale, quale viene richiesta dalla teoria delle equazioni iperboliche. La trattazione è matematicamente rigorosa ed affatto indipendente da metodi perturbativi; essa pone la teoria su di una salda base per susseguenti investigazioni quantitative.