Relativistic two-body plus potential problem: Compatible equations and double bound-state solutions (Spinless case)

Summary

We write a pair of compatible coupled Klein-Gordon equations, containing each a mutual interaction term ωV, an external attractive interaction termeV _i (i=1,2) and a three-body termeωW _i. These interaction terms can be chosen freely, within some restrictions imposed by the compatibility requirement. After eliminating the dependence on the relative time by performing a unitary transformation, we compute the double bound-state solutions by perturbations in the parameter ω, as in the corresponding nonrelativistic problem. The result suggests for the choice ofV + eW _i an expression which is compact, easy to use (at least in the double bound-state problem) and which brings only minor modifications to the corresponding nonrelativistic theory.

Riassunto

Si scrivono un paio di equazioni di Klein-Gordon accoppiate compatibili, ciascuna contenente un termine d’interazione mutua ωV, un termine d’interazione attrattivo esternoeV _i (i=1,2) a un termine a tre corpieωW _i. Questi termini d’interazione possono essere scelti liberamente entro alcune restrizioni imposte dalla richiesta di compatibilità. Dopo aver eliminato la dipendenza dal tempo relativo svolgendo una transformazione unitaria si calcolano le soluzioni dello stato doppie per mezzo di perturbazioni nel parametro ω, come nel corrispondente problema non relativistico. Il risultato suggerisce per la scelta diV+eW _i un’espressione che è compatta, facile da usare (almeno nel problema dello stato legato doppio) e che porta soltanto modificazioni minori alla corrispondente teoria non relativistica.

Резюме

Мы вяписываем пару совместных связанных уравнений Клейна-Гордона, каждое из которых содержит член взаимодействия щV, член внешнего взаимодействия притяженияeV _i (i=1,2) и трех-частичный членeщW _i. Эти члены взаимодействия могут быть выбраны произвольно, с некоторыми ограничениями, накладываемыми требованиями совместимости. После исключения зависимости от относительного времени, посредством унитарного преобразования мы определяем решения для дважды связанного состояния, используя возмущение по параметру ω, а также аналогично соответствующей нерелятивистсиой проблеме. Выбор быражения дляV+eW _i (по крайней мере, в проблеме дважды связанного состояния) может привести к минимальным модификациям соответствующей нерелятивистскою теории.