Propriétés analytiques de l’amplitude de diffusion de deux particules chargées interagissant par un potentiel du type de yukawa

Summary

We present a rigourous derivation of the analytic properties of theS-wave scattering amplitude when, in addition to a superposition of Yukawa potentials, a Coulomb interaction is present. The method of proof starts from the usual effective range function which as well known is free of Coulomb singularities. It is shown that this effective range function is analytic in a strip in thek complex plane. Then, making use of the analytic properties of superpositions of exponential potentials with respect to the distancer we can solve the Schrödinger equation along a ray in ther-plane and rotate the initial strip of analyticity ink. Eventually we find that the effective range function is meromorphic in the wholek plane except for two cuts. As in the noncoulombic case theS-matrix can be written as the ratio of two functions, one with the lower cut, another one with the upper cut. The zeros of the denominator ofS in the upper halfk-plane can still be interpreted as bound states located on the imaginaryk-axis. The connection between the successive Born approximations and the discontinuity of8 in the upper half-plane is rigourously established and, from the integral representation ofS we easily obtain the integral equation connecting the discontinuity in the upper half-plane andS itself. Finally the asymptotic behaviour ofS is studied.

Riassunto

Si présenta una deduzione rigorosa delle proprieté analitiche dell’ampiezza di scattering in ondaS quando, in aggiunta ad una sovrapposizione di potenziali di Yukawa, è presente un’interazione coulombiana. La dimostrazione parte dall’usuale funzione di range effettivo, che, come è ben noto, è priva di singolarità coulombiane. Si dimostra che questa funzione di range effettivo è analitica in una striscia del piano complessok. Poi, facendo uso delle proprietà analitiche delle sovrapposizioni di potenziali esponenziali rispetto alla distanza r si può risolvere l’equazione di Schrödinger lungo un raggio nel pianor e ruotare la striscia iniziale di analiticità del pianok. Effettivamente si trova che la funzione di range effettivo è meromorfica su tutto il pianok eccetto due tagli. Corne nel caso non coulombiano la matriceS si può scrivere come rapporto di due funzioni, una col taglio inferiore, un’altra col taglio superiore. Gli zeri del denominatore diS nel semipianok superiore possono ancora essere interpretati come stati legati situati sull’assek immaginario. Si stabilisée rigorosamente la connessione fra le successive approssimazioni di Born e la discontinuità diS nel semipiano superiore e, dalla rappresentazione integrale diS, si ottiene facilmente l’equazione integrale che mette in rapporto la discontinuità nel semipiano superiore edS stessa. Infine si studia il comportamento asintotico diS.