S-matrix, left-hand cut discontinuity and potential

Summary

Assuming a two body potential which is a continuous superposition of exponential potentials we first show in a straightforward way how to get, from the left-hand cut discontinuity of theS-wave scattering amplitude, the scattering amplitude itself, without any ambiguity. On the other hand, we establish a one to one correspondence between the unphysical cut discontinuity and the inverse Laplace transform of the potential. When the discontinuity is known in a certain range of values the inverse Laplace transform of the potential is exactly known in a corresponding range of values. An extention of the treatment when a repulsive hard core is present at short distance is given. The usefulness of the inverse Laplace transform of the potential as an intermediate tool in the calculation of the scattering amplitude is discussed.

Riassunto

Presupponendo fra due corpi un potenziale, sovrapposizione continua di potenziali esponenziali, si mostra dapprima in maniera diretta come ottenere senza ambiguità, dalla discontinuità del taglio sinistro dell’ampiezza di scattering dell’ondaS, l’ampiezza di scattering stessa. D’altra parte si stabilisce una corrispondenza univoca fra la discontinuità del taglio non fisico e la trasformazione di Laplace inversa del potenziale. Quando la discontinuità è nota in un certo campo di valori la trasformazione di Laplace inversa del potenziale è esattamente nota in un campo di valori corrispondente. Si dà una estensione del trattamento per il caso in cui sia presente a breve distanza un nocciolo repulsivo. Si discute l’utilità della trasformazione di Laplace inversa del potenziale quale strumento intermedio per il calcolo dell’ampiezza di scattering.