Nonanalytical properties of propagators. Thegφ ⁴ theory

Summary

When perturbative expansions diverge the search for solutions of the equations for propagators is a problem of real variable. It is shown, on the example of a neutral scalar field with gφ⁴ self-coupling, that the coefficients of the divergent perturbative expansions can still be used in principle, heuristically, to obtain the wanted solutions. The proposed procedure, which is quite general, yields easily the known correct answer if applied to a solvable numerical model of this theory, giving solutions which are holomorphic in l/√g and not uniquely determined by the knowledge of the perturbative coefficients. In the general case, the difference between any two such solutions would satisfy a bound state equation. À suitably regularized form of the gφ⁴ theory is studied in some detail; its solutions, if any exist, belong, like those of the model,

Riassunto

Quando lo sviluppo perturbativo diverge, il cercare le soluzioni delle equazioni cui soddisfano i propagatori è un problema di variabile reale. Si dimostra, prendendo come esempio un campo scalare neutro con interazionegφ ⁴, che si possono usare euristicamente, in linea di principio, i coefficients dello sviluppo perturlbativo per ottenere le volute soluzioni. II procedimento usato, che è del tutto generate, dà facilmente la soluzione corretta quando viene applicato ad un modello numerico di questa teoria. Le soluzioni trovate nel caso del modello sono olomorfe inl/√g e non sono univocamente determinate dai coefficienti dello sviluppo perturbativo. Nel caso generale la differenza tra due soluzioni soddisfa all’equazione per gli stati legati. Infine viene studiata una forma opportunamente regolarizzata della teoriagφ ⁴; si dimostra che le soluzioni di questa teoria, se esistono, sono, come quelle del modello, funzioni non analitiche di « classe 2 » secondo la definizione di Hadamard. to Hadamard’s « class 2 » of nonanalytical functions.